Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. S. Dahlke, F. Eckhardt

Ubungen zur Vorlesung ¨

Angewandte Funktionalanalysis

4. Aufgabenblatt

Aufgabe 4.1. (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass f¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet Ω ⊂ R

gilt:

C

( ¯ Ω) = C( ¯ Ω).

Geben Sie ein Beispiel daf¨ ur, dass jedoch C

( R

) 6= C( R

) gilt.

Aufgabe 4.2. (4 Punkte)

Es sei Ω ⊂ R

ein beschr¨ anktes Gebiet. Zeigen Sie: F¨ ur m ∈ N , m ≥ 1, ist C

( ¯ Ω) kompakt in C

( ¯ Ω) eingebettet.

Aufgabe 4.3. (4 Punkte)

Es sei (X, d) ein vollst¨ andiger metrischer Raum und {A

}

eine Folge abgeschlossener Teilmengen von X . Zeigen Sie: Wenn ∪

A

eine offene Kugel enth¨ alt, so gibt es ein k, so dass A

eine offene Kugel enth¨ alt.

Aufgabe 4.4. (4 Punkte)

Es sei b(x, y) eine beschr¨ ankte Bilinearform auf einem Hilbertraum X, d.h. es existiert eine Konstante c

> 0 mit |b(x, y)| ≤ c

· kxk

· kyk

f¨ ur alle x, y ∈ X . Zeigen Sie, dass es zwei eindeutig bestimmte Operatoren S, T ∈ L(X) gibt mit

b(x, y) = hSx, yi

= hx, T yi

, c

= kSk = kT k.

Abgabe: 19.05.2016 vor der Vorlesung