Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. S. Dahlke, F. Eckhardt

Ubungen zur Vorlesung ¨

Angewandte Funktionalanalysis

2. Aufgabenblatt

Aufgabe 2.1. (4 Punkte)

Es sei (X, τ) ein topologischer Raum. Ein System {A i } _i∈I , A i ⊂ X f¨ ur alle i ∈ I, I eine beliebige Indexmenge, heißt zentriert, wenn alle A _i abgeschlossen sind und f¨ ur jede endliche Indexmenge I ₀ ⊂ I gilt: ∩ _i∈I

A i 6= ∅.

Zeigen Sie: X ist genau dann kompakt, wenn f¨ ur jedes zentrierte System ∩ i∈I A _i 6= ∅ erf¨ ullt ist.

Aufgabe 2.2. (2+2=4 Punkte)

(i) Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum und C(X ) der Raum der auf X stetigen K -wertigen Funktionen mit der Norm kf k _∞ := max _x∈X |f (x)|.

Zeigen Sie, dass (C(X), k · k ∞ ) ein Banachraum ist.

(ii) Sei M eine beliebige Menge und B(M ) die Menge der Abbildungen f : M → R , so dass M ε (f ) := {x ∈ M : |f (x)| ≥ ε}

endlich ist f¨ ur alle ε > 0. Zeigen Sie, dass B(M ) zusammen mit der Supremumsnorm ein Banach- raum ist.

Aufgabe 2.3. (4 Punkte)

Sind X, Y Banachr¨ aume, so ist auch X × Y ein Banachraum mit der Norm k(x, y)k _X×Y = kxk _X + kyk _Y . Charakterisieren Sie den Dualraum von X × Y durch X ⁰ und Y ⁰ .

Aufgabe 2.4. (4 Punkte)

Es sei c ₀ ( N ) ⊂ ` <sub>∞</sub> ( N ) der Raum der Nullfolgen. Zeigen Sie: c <sub>0</sub> ( N ) <sup>0</sup> ∼ = ` ₁ ( N ).

Abgabe: 05.05.2016 vor der Vorlesung