Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2019 der Philipps-Universit¨at Marburg
Prof. Dr. S. Dahlke, A. G¨orlich
Ubungen zur Approximationstheorie¨
– Blatt 2 –
Abgabe: Donnerstag, 09.05.2019, 12:00-12:15 in HS I
Aufgabe 2.1. (4 Punkte)
(i) Zeige f¨urn∈N folgende Formel f¨ur die Differenz zweier Bernstein-Polynome:
Bnf(x)−Bn+1f(x) = x(1−x) n(n+ 1)
n−1
X
k=0
f k
n,k+ 1 n+ 1,k+ 1
n
n−1 k
xk(1−x)n−1−k.
Dabei bezeichnetf[x0, . . . , x`] die aus der Numerik I bekannten dividierten Differen- zen,
f[x0, . . . , x`] := f[x1, . . . , x`]−f[x0, . . . , x`−1] x`−x0
, f[xi] := f(xi).
(ii) Folgere, dass f¨ur eine konvexe Funktionf ∈ C([0,1]) gilt:
Bnf(x)>Bn+1f(x)>f(x), x∈(0,1).
Aufgabe 2.2. (4 Punkte)
Zeige, dass f¨ur das PolynomSm(t),m∈N0, gem¨aß (1.1.6) gilt:
S6(t) =u3(n)p6(t), d.h.,S6 ist ein Polynom Grad 3 innund vom Grad 6 in t.
Aufgabe 2.3. (4 Punkte)
Es sei d > 1. Zeige durch Angabe einer geeigneten affinen Transformation Q→ Q,˜ Q = [0,1]d, dass Satz 1.3.2 der Vorlesung f¨ur allgemeine Quader ˜Q = [a1, b1]×. . .×[ad, bd] richtig bleibt.
Aufgabe 2.4. (m¨undlich)
Es seid >1. Zeige: Istf ∈ C([0,1]d) durch ein Tensorprodukt gegeben, f(x) = (f1⊗. . .⊗ fd)(x) = f1(x1)·. . .·fd(xd), so hat auch das zugeh¨orige Bernstein-Polynom Tensorpro- duktform,Bnf(x) = (Bnf1⊗. . .⊗Bnfd)(x) =Bnf1(x1)·. . .·Bnfd(xd).
