Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. S. Dahlke, F. Eckhardt

Ubungen zur Vorlesung ¨

Angewandte Funktionalanalysis

9. Aufgabenblatt Aufgabe 9.1. (4 Punkte)

Es sei Ω ⊂ R ^d ein Gebiet. Zeigen Sie, dass L _∞ (Ω) vollst¨ andig bez¨ uglich k · k _∞ gem¨ aß Definition 4.1.1 ist.

Aufgabe 9.2. (2 Punkte)

Zeigen Sie, dass (L ₂ (Ω), (·, ·)) ein Hilbertraum ist, wobei (f, g) :=

Z

Ω

f (x) · g(x)dx, f, g ∈ L 2 (Ω) ist.

Aufgabe 9.3. (4 Punkte)

Es sei Ω ⊂ R ^d ein Gebiet. Geben Sie einen Unterraum M des Banachraums (L ∞ (Ω), k · k ∞ ) an, der isometrisch isomorph zu (` <sub>∞</sub> ( N ), k · k <sub>`</sub>

) ist.

Aufgabe 9.4. (4 Punkte)

Es sei Ω := (0, 1) ⊂ R . Zeigen Sie, dass der Raum C ⁰ ( ¯ Ω) stetig, aber nicht kompakt in L 2 (Ω) eingebettet ist.

Abgabe: 23.06.2016 vor der Vorlesung