Fachbereich Mathematik und Informatik Wintersemester 2015/16 der Philipps-Universit¨ at Marburg
Prof. Dr. B. Schmitt
Probeklausur zur Linearen Optimierung
Entspricht im Wesentlichen der Abschlussklausur im WS 2014/15.
Unsere Klausur wird am Di, 9.2. von 10:00-11:55 Uhr im H¨ orsaal 00/70 stattfinden.
Aufgabe 1 (1 Bonuspunkt, in Klausur 4 Punkte)
Geben Sie kurze L¨ osungen zu den folgenden Aufgaben/Fragen an.
(i) Welches Verfahren kann verwendet werden, um bei einem Linearen Programm der Form (LP2) mit negativer rechter Seite b 6 0 die Anlaufrechnung einzu- sparen?
(ii) Zu einem Linearen Programm der Form (LP3) werde eine Anlaufrechnung mittels der Zwei-Phasen-Methode durchgef¨ uhrt. Was bedeutet es, wenn nach Abschluss von Phase Eins in der Optimall¨ osung des Hilfsproblems nicht alle k¨ unstlichen Schlupfvariablen den Wert Null annehmen?
(iii) Es sei M ⊂ R
neine nichtleere, konvexe Menge und es sei z ∈ M so gew¨ ahlt, dass M \ {z} konvex ist. Was gilt dann f¨ ur z?
(iv) Es werde ein Lineares Programm (LP) und das dazu duale Programm (LP∗) betrachtet. Das duale Programm (LP∗) sei unbeschr¨ ankt. Was folgt daraus f¨ ur das primale Programm?
Aufgabe 2 (1 Bonuspunkt, in Klausur 4 Punkte) Es sei K ⊂ R
nein nichtleerer konvexer Kegel. Zeigen Sie, dass
aff(K) = K − K
gilt, wobei M − N := {x − y : x ∈ M, y ∈ N } f¨ ur Mengen M, N ⊂ R
nist.
Aufgabe 3 (1 Bonuspunkt, in Klausur 4 Punkte)
Es seien M, N ⊂ R
nkonvexe Mengen. Zeigen Sie, dass die Menge C := [
06α61
(αM ∩ (1 − α)N ) konvex ist.
Hinweis: F¨ ur eine konvexe Menge M und positive Skalare λ, µ > 0 gilt λM + µM =
(λ + µ)M .
Aufgabe 4 (1 Bonuspunkt, in Klausur 4 Punkte)
Es seien die Vektoren b, c, d, v ∈ R
2gegeben. Zeigen Sie mit dem Lemma von Farkas, dass die Aussage
∀y ∈ R
3:
b
1y
1+ b
2y
2+ y
36 0 c
1y
1+ c
2y
2+ y
36 0 d
1y
1+ d
2y
2+ y
36 0
⇒ y
1v
1+ y
2v
2+ y
36 0
genau dann gilt, wenn v in dem von den drei Vektoren b, c und d aufgespannten Dreieck liegt, d.h., wenn gilt: v ∈ konv{b, c, d}.
Aufgabe 5 (1 Bonuspunkt, in Klausur 2+3=5 Punkte) Betrachten Sie das (LP2)-Problem min{c
Tx : Ax > b, x > 0} mit
c =
−11 10 34
, A =
−2 1 3
1 1 −2
4 2 0
3 −1 −1
2 0 3
und b =
−4 3 5 2 11
.
(i) Zeigen Sie, dass der Vektor ¯ x = (4, 1, 1)
Teine Ecke des zul¨ assigen Bereichs X = {x ∈ R
3: Ax > b, x > 0} ist.
(ii) Benutzen Sie den Komplementarit¨ atssatz, um zu ¨ uberpr¨ ufen, ob ¯ x eine Opti- mall¨ osung des linearen Programms ist.
Aufgabe 6 (1 Bonuspunkt, in Klausur 6 Punkte) Es sei das Lineare Programm
min −2x
1+ 9 4 x
2− 2
3 x
1+ 1
2 x
2> −1 x
1+ 1
4 x
2> 2
−x
1+ 3
2 x
2> 3 4 x
1, x
2> 0
gegeben. Bestimmen Sie die Optimall¨ osung des Linearen Programms mit dem Simplex- Tableau-Verfahren. Benutzen Sie dabei zur Anlaufrechnung die Groß-M-Methode.
Die Konstante M braucht hierbei nicht explizit gew¨ ahlt, sie muss nur als groß genug angenommen werden.
Sie sollten bei der Auswahl der Pivotspalten immer den kleinsten geeigneten Index
w¨ ahlen!
Aufgabe 7 (1 Bonuspunkt, in Klausur 2+4=6 Punkte) Es sei das (LP3)-Problem min{c
Tx : Ax = b, x > 0} mit
c = 4 2 1 1 3
T, A =
−3 1 4 2 3
3 1 2 2 1
−1 2 −3 −3 3
und b =
2 7 7
gegeben. Dieses hat die Optimall¨ osung ˆ x = (
56,
256, 0,
16, 0)
Tmit der zugeh¨ origen Basis A
J, J = {1, 2, 4}. Es wird nun eine parametrische ¨ Anderung der rechten Seite durch den Vektor ˜ b = (15, 7, 7)
Tvorgenommen, d.h. es wird das Programm min{c
Tx : Ax = b(t), x > 0}, t > 0 mit b(t) = b + t ˜ b betrachtet.
(i) Bestimmen Sie den maximalen Parameter t
max> 0, so dass die Basis A
Jf¨ ur alle t ∈ [0, t
max] optimal ist.
(ii) Es sei nun t = 1 gew¨ ahlt. Bestimmen Sie, ausgehend von der Basis A
J, die Op- timall¨ osung des ge¨ anderten Problems mittels des dualen Simplex-Verfahrens.
Hinweis: Eine Auflistung der Inversen aller m¨ oglichen 3 × 3-Untermatrizen der Ma-
trix A befindet sich am Ende der Klausur.
Inversen aller 3 × 3-Untermatrizen der Matrix A aus Aufgabe 7
J
1= {1, 2, 3} J
2= {1, 2, 4}
A
−1J1=
−
18 1156−
2811 8
13 56
9 28 1
8 5 56
−
283
A
−1J2=
−
16 160
1 6
11 42
2 7 1
6 5 42
−
17
J
3= {1, 2, 5} J
4= {1, 3, 4}
A
−1J3
=
1 8
3 8
−
14−
54−
34 327 8
5 8
−
34
A
−1J4
=
0
37 271 2
11 14
6 7
−
12−
1314−
97
J
5= {1, 3, 5} J
6= {1, 4, 5}
A
J5=
−
889 2188 4415 44
3 44
−
2237 88
13 88
9 44
A
−1J6
=
−
689 1568 1715 34
3 34
−
1737 68
11 68
3 17
J
7= {2, 3, 4} J
8= {2, 3, 5}
A
−1J7=
0
37 271
2
−
120
−
12 1114−
17
A
−1J8=
−
169 2116 181 16
3 16
−
187
16
−
1116 18
J
9= {2, 4, 5} J
10= {3, 4, 5}
A
−1J9
=
−
149 1514 271 14
3 14
−
171
2
−
120
A
−1J10
=
1
2
