Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2019 der Philipps-Universit¨ at Marburg

Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2019 der Philipps-Universit¨ at Marburg

Prof. Dr. S. Dahlke, A. G¨ orlich

Ubungen zur Approximationstheorie ¨

– Blatt 3 –

Abgabe: Donnerstag, 16.05.2019, 12:00-12:15Uhr in HS I

Aufgabe 3.1. (4 Punkte)

Es sei I = [a, b] ⊂ R kompakt und {k _n } n∈ N eine stetige Approximation der Eins. Zeige, dass unter diesen Voraussetzungen die Familie {K _n } _{n∈ N} zugeordneter Integraloperatoren mit

K _n :

C ⁰ ( ¯ I) → C ⁰ ( ¯ I )

f 7→

b

R

a

k _n (x, t)f (t) dt wohldefiniert ist.

Aufgabe 3.2. (4 Punkte)

Es sei n ∈ N 0 , F _n (t) der Fejer-Kern gem¨ aß (1.5.4) und f ∈ C _π . Zeige, dass f¨ ur den zugeordneten Integraloperator

K n f(x) = 1 π

π

Z

−π

F n (x − t)f(t) dt

gilt:

K _n f (x) = 1 (n + 1)π

π 2

Z

0

(f(x − 2t) + f (x + 2t)) sin ² ((n + 1)t) sin ² (t) dt.

Aufgabe 3.3. (4 Punkte)

Es sei n ∈ N 0 , F n (t) der Fejer-Kern gem¨ aß (1.5.4), K n der zugeordnete Integraloperator aus Aufgabe 3.2 und f ∈ C _π sei Lipschitz-stetig mit Exponent α ∈ (0, 1) und Lipschitz- Konstante M > 0, d.h.,

|f (x) − f (y)| 6 M|x − y| ^α f¨ ur alle x, y ∈ R.

Zeige folgende Absch¨ atzung f¨ ur den Approximationsfehler, kK _n f − f k 6 C(α) M

(n + 1) ^α . Dabei ist C(α) ein vom Parameter α abh¨ angiger Faktor.

Aufgabe 3.4. (m¨ undlich)

(i) Betrachte den Raum

C _π = {f : R → C : f stetig, 2π-periodisch}

mit der Norm kf k _C

= sup _{x∈[−π,π]} |f(x)|. Weise nach, dass (C _π , k · k _C

) ein Banach- raum ist.

- bitte wenden -

(ii) Sei k : R × (0, ∞) → R mit

k(s, t) := 1 2 √

πt e ^−s

^/4t

der W¨ armeleitungskern und f¨ ur eine beschr¨ ankte, stetige Funktion f : R → R sei f¨ ur x ∈ R und t > 0

u(t, x) :=

Z

R

f (y)k(x − y, t)dy.

Verifiziere, dass u(t, x) die Gleichung

∂u

∂t (t, x) − ∂ ² u

∂x ² (t, x) = 0 f ¨ ur t > 0, x ∈ R

erf¨ ullt.