Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Philipps-Universit¨ at Marburg Sommersemester 2016 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. S. Dahlke, F. Eckhardt

Ubungen zur Vorlesung ¨

Angewandte Funktionalanalysis

7. Aufgabenblatt

Aufgabe 7.1. (4 Punkte)

Es sei V ein Banachraum. Zeigen Sie, dass die Abbildung

i : V → V ⁰⁰ x 7→ hx, ·i

eine lineare Isometrie mit abgeschlossenem Bild in V ⁰⁰ ist. Dabei bezeichnet hx, fi = f (x) f¨ ur x ∈ V und f ∈ V ⁰ die Dualit¨ atsabbildung aus Definition 3.5.1.

Aufgabe 7.2. (4 Punkte) Es sei V ein Banachraum.

(i) Zeigen Sie f¨ ur eine Folge (x _k ) _{k∈ N} ⊂ V und x ∈ V : x _k + x genau dann, wenn kx _k k _V ≤ C f¨ ur alle k ∈ N und f(x k ) → f (x) f¨ ur alle f ∈ W aus einer dichten Teilmenge W von V ⁰ .

(ii) Zeigen Sie im Fall V := c ₀ ( N ): x _k + x genau dann, wenn kx _k k _`

_{( N )} ≤ C f¨ ur alle k ∈ N und x ki → x i f¨ ur alle i ∈ N .

Aufgabe 7.3. (4 Punkte)

Es seien V, W Banachr¨ aume und T : V → W linear. Zeigen Sie: T ∈ L(V, W ) genau dann, wenn T stetig bez¨ uglich der schwachen Topologien von V und W ist.

Aufgabe 7.4. (4 Punkte)

Es sei V ein Hilbertraum. Zeigen Sie:

x k → x ⇐⇒ x k + x und kx k k V → kxk V .

Abgabe: 09.06.2016 vor der Vorlesung