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die Menge aller Teilmengen von {1, . . . , n}. Sei G

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Academic year: 2021

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Dr. Stefan G¨oller Sommersemester 2010

Graphentheorie Ubungsblatt 1 ¨

Abgabe: 19.04.10 vor der Vorlesung Besprechung: 21.04.10

1. (25% = 10% + 15%) F¨ur n ≥ 1 sei X

n

die Menge aller Teilmengen von {1, . . . , n}. Sei G

n

der Graph mit der Knotenmenge X

n

, f¨ur den zwei Knoten A und B durch eine Kante verbunden sind genau dann, wenn A ∩ B = ∅ gilt.

• Zeichnen Sie den Graphen G

3

.

• Wieviele Knoten und wieviele Kanten hat der Graph G

n

?

2. (25%) Sei G ein beliebiger (ungerichteter) Graph. Zeigen Sie, dass G oder G zusammenh¨angend ist.

3. (25%) Zeigen Sie, dass ein Graph G = (V, E) genau dann ein Cograph ist, wenn f¨ur je zwei Knoten x, y ∈ V , die in derselben Zusammenhangskom- ponente von G liegen, ein Weg der L¨ange h¨ochstens zwei existiert, der x und y verbindet.

Hinweis: Sie d¨ urfen die Charakterisierung von Cographen aus der Vorle- sung verwenden.

4. (25%) Sei G = ( V, E ) ein (ungerichteter) Graph mit V 6= ∅ . F¨ur einen Knoten x sei d ( x ) = |{y ∈ V | ( x, y ) ∈ E}| der Grad des Knoten x , d.h. die Anzahl der Knoten mit denen x durch eine Kante verbunden ist. Weiter sei δ = min{d ( x ) | x ∈ V }. Zeigen Sie, dass dann P

δ+1

ein Teilgraph von G ist.

www.informatik.uni-bremen.de/tdki/lehre/ss10/graphen/

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