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Aufgabe 1: 3 Punkte

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Academic year: 2021

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Prof. Lars Diening, Sebastian Schwarzacher, Hans Irl 21.10.2011

Numerik I — Blatt 1

Aufgabe 1: 3 Punkte

Zeigen Sie: Sei A ∈ R

n×n

eine symmetrische, positiv definite Matrix und b ∈ R

n

, c ∈ R . Dann hat die reellwertige Funktion auf R

n

f (x) = 1

2 x

t

Ax − x

t

b + c einen einzigen stationären Punkt x

0

, gegeben durch

Ax

0

= b oder

x

0

= A

−1

b

Zugleich nimmt f in x

0

ein (absolutes) Minimum an.

Aufgabe 2: 3 Punkte

Berechnen Sie die Kondition τ

f

der durch f (x) := sin x definierten Funktion f : R → R . Bestimmen Sie die Konditionszahl von f . Für welche x ist f schlecht konditioniert.

Aufgabe 3: 4 Punkte

Gegeben ist die n × n-Matrix

A :=

2 −1 0 · · · 0

−1 2 −1 0 · · · 0

0 −1 2 −1 0 · · · 0

.. . . . . . . . . . . .. .

0 · · · 0 −1 2 −1 0

0 · · · 0 −1 2 −1

0 · · · 0 −1 2

Zeigen Sie, dass die Matrix A strikt positiv definit ist, d.h. x

t

Ax > 0 für alle x 6= 0.

Auf der Seite http://www.die-mathematiker.net/forum/numws11 ist ein Diskus-

sionsforum eingerichtet.

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