Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Sommersemester 2010 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zur Analysis II¨ Blatt XIV vom 15. Juli 2010
(Abgabe bis Donnerstag, 22. Juli, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors) Hinweis: Dieser Aufgabenzettel ist freiwillig, die Aufgaben sind aber, wie bei jedem Auf- gabenzettel hilfreich, bei der Vorbereitung auf die Klausur. Wenn Sie ihn bearbeiten, so werden die erzielten Punkte (max. 15) als Zusatzpunkte ber¨ucksichtigt. Die Korrekturen k¨onnen bei Frau Scharsche (V4-217) bzw. Herrn Kaßmann (V4-223) abgeholt werden.
Aufgabe XIV.1 (5 Punkte)
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem (d.h. zwei linear unabh¨angige L¨osungen) f¨ur das folgende Differentialgleichungssystem:
y01(t) =y2(t)−7y1(t), y02(t) =−2y1(t)−5y2(t).
Aufgabe XIV.2 (5 Punkte)
(a) Sei α ∈ (0,1). Seiena, b > 0, x0 ∈R, I = (0, a]⊂ R, B = [x0−b, x0+b]⊂ R. Sei f ∈C(I×B) mit
|f(t, x1)−f(t, x2)| ≤ 1
tα|x1−x2| f¨urt∈I;x1, x2∈B .
Sei nun ε >0. Zeigen Sie, dass es h¨ochstens eine Funktionu∈C1((0, ε)) gibt, welche u0(t) =f(t, u(t)), u(0) =x0
erf¨ullt.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage im Fallα= 1.
Aufgabe XIV.3 (5 Punkte)
Geben Sie die allgemeine L¨osung der Gleichung
u0(t)−u2(t)−2tu(t) = 2 an.
