Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt XI vom 21. Dezember 2012
Abgabe bis Freitag, 11.01.13, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128)
Aufgabe XI.1 (5 Punkte)
Es seien B = {(x, y) ∈ R2|x2 +y2 ≤ 1} und K = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0,|y| < x}.
Weiterhin seien Mengen S1, S2 und S3 definiert durch
S1 =B∩K, S2 =B\K, S3=K\B.
Bestimmen Sie ∂Si,Si und int(Si) f¨uri= 1,2,3.
Aufgabe XI.2 (5 Punkte)
Der Weihnachtsmann sieht sich einer schweren Aufgabe gegen¨ubergestellt: Aus einer Pappefl¨ache mit dem Fl¨acheninhalt 2500 cm2 m¨ochte er ein quaderf¨ormiges Paket maxi- malen Volumens basteln, um m¨oglichst viel Platz f¨ur die Geschenke zu schaffen1. Dazu erinnert er sich, dass man das Volumen V und die Oberfl¨ache O des Pakets gem¨aß der Formeln
V =xyz, O= 2(xy+xz+yz)
berechnet, wobeix, y, z >0 die unbekannten Seitenl¨angen des Pakets bezeichnen.
a) L¨osen Sie die Oberfl¨achengleichung nach der Unbekanntenz auf, d.h. bestimmen Sie eine Funktion gmitz=g(x, y).
b) Maximieren Sie nun das Volumen des Pakets, indem Sie auf der offenen Menge U ={(x, y)∈R2|x >0, y >0, g(x, y)>0} die FunktionV :U →R,
V(x, y) =x·y·g(x, y)
maximieren. Geben Sie die Seitenl¨angen des entsprechenden Pakets an. Die Menge U ergibt sich hierbei aus der Forderung, dass Seitenl¨angen positiv sein m¨ussen.
Aufgabe XI.3 (5 Punkte)
Es sei D = {(x, y) ∈ [0,1]×[0,1]|0 ≤ x+y ≤ 1}. Bestimmen Sie Art, Lage und Funktionswert aller globalen Extrema der Funktion f :D→R,
f(x, y) =−(x−12)2+ (x− 12)(y−12)−(y−12)2.
1Nehmen Sie hierbei an, dass der Weihnachtsmann jede vorgelegte Fl¨ache aus Pappe vollst¨andig in einen Quader umformen kann.
Aufgabe XI.4 (5 Punkte)
Seia >0. Die WirkungW, die eine Dosis vonx Einheiten eines MedikamentstStunden nach der Einnahme auf einen Patienten haben, werde durch die Funktion
W(x, t) =x2(a−x)t2e−t beschrieben, wobei x∈[0, a] undt∈[0,∞).
Nach welcher Zeit tund f¨ur welche Dosisx wird die Wirkung W maximal?
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