Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt XI vom 14.01.16
Aufgabe XI.1
Zeigen Sie, dass in dem Satz von Fubini-Tonelli nicht auf dieσ-Endlichkeit der Maßräume verzichtet werden kann.
Hinweis: Betrachten Sie die Maßräume(R,B(R), λ)und(R,B(R), ν), wobeiνdas Zählmaß aufR bezeichnet, d.h.ν(A)ist die Kardinalität vonA, fallsAendlich viele Elemente hat undν(A) =∞, fallsAunendlich viele Elemente hat.
Aufgabe XI.2 Zeigen Sie
L→∞lim
L
Z
0
sin(x)
x dx= π 2.
Hinweis: Schreiben Sie 1 x =
∞
Z
0
e−xtdt.
Aufgabe XI.3
Es seien Ω = (0,∞)×(0,∞) undJ :R2→R2 die wie folgt definierte Abbildung:
J(u, v) :=
u(1−v) uv
= x
y
. Des Weiteren sei die Eulersche GammafunktionΓ : (0,∞)→R,
Γ(x) =
∞
Z
0
tx−1e−tdt.
a) Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz: Eine Funktion f : Ω → R ist genau dann über Ω integrierbar, wenn die Funktion (u, v)7→f(J(u, v))·u überS:= (0,∞)×(0,1)integrierbar ist, und dann gilt
Z
Ω
f(x, y) λ2(d(x, y)) = Z
S
f(u(1−v), uv)·u λ2(d(u, v)).
b) Beweisen Sie die folgende Identität:
B(p, q) :=
1
Z
0
(1−t)p−1tq−1dt= Γ(p)Γ(q)
Γ(p+q), wobeip, q >0.
Hinweis:B(p, q)wird als Eulersches Betaintegral bezeichnet. Verwenden Sie, dass die Funk- tionen x7→ xp−1e−x und y 7→ yq−1e−y über(0,∞) integrierbar sind und ihre Integrale Γ(p)bzw.Γ(q)sind.
Aufgabe XI.4
SeiB ={(x, y)∈R2|x2+y2 ≤1}. Berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten Z
B
(x4+y4)d(x, y).
2
