Aufgabe XIII.3 (5 Punkte) Seien f:R→R und a, b6= 0 Konstanten

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zur Analysis II¨ Blatt XIII vom 08. Juli 2010

(Abgabe bis Donnerstag, 15. Juli, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)

Aufgabe XIII.1 (5 Punkte)

Bestimmen Sie allgemeine L¨osungen der folgenden Differentialgleichungen:

a)y⁰(x) =

py²(x) + 1

xy(x) , b)y⁰(x)−xy²(x) = 2x, c) (1 +y⁰(x))e^−y(x)= 1.

Aufgabe XIII.2 (5 Punkte)

Bestimmen Sie alle Funktionen f:R→R, die die folgende Eigenschaft haben:

Die Tangente an jedem Punkt (x, y) auf dem Graphen vonf schneidet diex-Achse im Punkt ^x₂.

Aufgabe XIII.3 (5 Punkte)

Seien f:R→R und a, b6= 0 Konstanten. Betrachten Sie eine Differentialgleichung der folgenden Form:

y⁰(x) =f(ax+by(x)).

a) F¨uhren Sie eine neue Funktionu=ax+byein und schreiben Sie obige Gleichung in eine Differentialgleichung f¨uruum. Zeigen Sie, dass sich diese Differentialgleichung dann durch Separation der Variablen l¨osen l¨asst.

b) Bestimmen Sie L¨osungen der folgenden Differentialgleichungen:

i)y⁰(x)−y(x) = 2x+ 3, ii) y⁰(x) = cos(y(x)−x).

Aufgabe XIII.4 (5 Punkte)

(a) Diskutieren Sie die L¨osbarkeit des folgenden Anfangswertproblems anhand des Satzes

¨uber die eindeutige Existenz von Kurzzeitl¨osungen:

u⁰(t) = (u(t))², u(t0) =u0. (b) Bestimmen Sie eine L¨osung des Anfangswertproblems

u⁰(t) = (u(t) +t)², u(t₀) =u₀.