Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Sommersemester 2010 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zur Analysis II¨ Blatt IX vom 10. Juni 2010
(Abgabe bis Donnerstag, 17. Juni, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)
Aufgabe IX.1 (5 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass sich die Gleichungx+y+z= sin(xyz) in einer UmgebungV von (0,0,0) eindeutig nachzaufl¨osen l¨asst, d.h. auf einer geeigneten UmgebungU von (0,0) existiert eine Funktiong:U →Rmit der Eigenschaft, dass
{(x, y, g(x, y))|(x, y)∈U} genau die L¨osungsmenge obiger Gleichung inV ist.
b) Berechnen Sie die Ableitung von g an der Stelle (0,0).
Aufgabe IX.2 (5 Punkte)
Beweisen Sie, dass das Gleichungssystem
u+ cos(uv)−vx = 1 sin(u)−y−v = 0
in einer Umgebung von (x0, y0, u0, v0) = (0,−1,0,1) durch differenzierbare Funktionen u = u(x, y) und v = v(x, y) aufgel¨ost werden kann und berechnen Sie die partiellen Ableitungen vonu und v an der Stelle (0,−1).
Aufgabe IX.3 (4 Punkte)
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f:R2→R, (x, y)7→6−5x−4y unter der Nebenbedingungx2−y2 = 9.
Aufgabe IX.4 (1+3+2 Punkte)
a) Die allgemeine Gasgleichung eines idealen Gases beschreibt die Abh¨angigkeiten der Zustandsgr¨oßen Druck P, Temperatur T und VolumenV voneinander. Sie lautet1
P·V
T =const.
Bestimmen Sie geeignete Voraussetzungen, unter denen stetig differenzierbare FunktionenTe(P, V),Pe(V, T) undVe(P, T) derart existieren, dass
P·V
Te(P, V) =const, Pe(V, T)·V
T =const und P·Ve(P, T)
T =const.
1Die auftretende Konstante ist das Produkt aus Stoffmenge (in mol) und der allgemeinen Gaskonstante R= 8,314472 J mol−1K−1.
b) Beweisen Sie:
∂Te
∂V ·∂Pe
∂T ·∂Ve
∂P =−1
in allen Punkten, in denen die auftretenden Ausdr¨ucke existieren.
c) Hans Mathechef entdeckt beim virtuellen St¨obern in diversen Mathematikforen folgendes bemerkenswerte Resultat:
”Wenn f(x, y, z) = 0, dann gilt ∂x
∂y ·∂y
∂z · ∂z
∂x =−1.“
Helfen Sie Hans bei der Suche nach Interpretation und Voraussetzungen, sodass das Resultat g¨ultig ist.
Hans ist nach dieser Erkenntnis gewarnt, dass das sorglose K¨urzen in Differential- ausdr¨ucken der Form dzdxdx, dxdzdxdz etc. nicht immer angebracht ist.
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