Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt XII vom 11. Januar 2013
Abgabe bis Freitag, 18.01.13, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128)
Aufgabe XII.1 (5 Punkte)
Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum der Funktion f:R2→R, f(x, y) = 6−5x−4y unter der Nebenbedingungx2−y2 = 9.
Aufgabe XII.2 (5 Punkte)
Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum der Funktionf:R2 →R, f(x, y) =x2−y2, unter der Nebenbedingungx2+y2= 2x.
Aufgabe XII.3 (5 Punkte)
Gegeben sind die Kugeloberfl¨achex2+y2+z2= 4 sowie der PunktP = (3,1,−1)∈R3. a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode denjenigen Punkt auf der Kugel- oberfl¨ache, der vom Punkt P den maximalen Abstand hat. Wie groß ist dieser Abstand?
Hinweis:Verwenden Sie als Zielfunktion f(x, y, z) = (x−3)2+ (y−1)2+ (z+ 1)2. b) Best¨atigen Sie Ihr Ergebnis aus Teil a) anhand geometrischer ¨Uberlegungen. Be- trachten Sie dazu die Gerade durch P und den Mittelpunkt der Kugel. Einer der Schnittpunkte mit der Kugeloberfl¨ache ist der gesuchte Punkt.
Aufgabe XII.4 (5 Punkte) Zua, b, c >0 ist das EllipsoidE=
n
(x, y, z)∈R3 | xa22 +yb22 +zc22 = 1 o
gegeben.
Finden Sie denjenigen achsenparallelen QuaderQxyz=−x
2 ,x2
×−y
2 ,y2
×−z
2 ,z2
⊂R3, der unter allen solchen Quadern, die dem EllipsoidE einbeschrieben sind, das maximale Volumen hat. Welches Volumen hat dieser Quader?
