Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren den Punkt der Menge A :={(x, y) ∈R2 f(x, y

Aufgabe 1. Implizite Funktionen und Extrema unter Nebenbedingungen a) Beweisen Sie, dass das folgende nichtlineare Gleichungssystem

x²+ 5y−u²+v+ 1 = 0 x²+ 4y²−3u²−4v+ 3 = 0

in einer Umgebung von (x0, y0, u0, v0) = (3,5,6,1)nach (u, v)aufgel¨ost werden kann. Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der entsprechenden Funktion (u, v) =f(x, y)in dem Punkt (3,5).

b) Sei f :R²−→Rdefiniert durch f(x, y) =x²+y²−4. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren den Punkt der Menge A :={(x, y) ∈R² f(x, y) = 0}, der den minimalen bzw. maximalen Abstand zu den Punkt (1,1) aufweist.

c) Sei g:R³−→Rdefiniert durch g(x, y, z) = 5x+y−3z. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren die Extrema der Funktion g auf dem Schnitt der Ebene x+y+z = 0 mit der Oberfl¨ache der Einheitskugel x²+y²+z²= 1.

Aufgabe 2. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

a) Bestimmen Sie jeweils eine L¨osung der folgenden Anfangswertprobleme

y⁰(x) = cos(x) +y(x)²cos(x), y(0) = +1.

y⁰(x) =xexp(y(x)

x ) +y(x)

x , y(+1) = 0.

y⁰(x) =x²y(x) + (x²−1) exp(x), y(0) =−1.

y⁰(x) =y(x) +y⁻²exp(2x), y(0) = +1.

b) Gegeben sei das inhomogene lineare Differenzialgleichungssystem y⁰=P y+Q, wobei

P(x) =







1 1

√ 1−x²

− 1

√1−x² 1





 und Q(x) = √

1−x²

−x

1. Berechnen Sie ein L¨osungsfundamentalsystem Φdes homogenen Systems, f¨ur das Φ(0) = 1 0

0 1

gilt.

2. Bestimmen Sie die L¨osung y_p des inhomogenen Systems, die der Anfangsbedingung y_p(0) = ⁰₀

gen¨ugt.

3. L¨osen Sie das Anfangswertproblem y⁰=P y+Q, y(0) = ⁻¹₁ .

c) Gegeben sei das homogene lineare Differenzialgleichungssystem y⁰=P y, wobei P(x) =

2

x 1

0 _x³

Berechnen Sie auf dem Intervall x∈ (0,∞) ein L¨osungsfundamentalsystem Φ des homogenen Systems , f¨ur das Φ(1) =

1 0 0 1

gilt.

d) Gegeben sei das inhomogene lineare Differenzialgleichungssystem y⁰=P y+Q, wobei P(x) =

2x cos(x)

0 2x

und Q(x) = x

exp(x²)

1. Berechnen Sie ein L¨osungsfundamentalsystem Φdes homogenen Systems, f¨ur das Φ(0) = 1 0

0 1

gilt.

2. Bestimmen Sie die L¨osung yp des inhomogenen Systems, die der Anfangsbedingung yp(0) = ⁰₀

gen¨ugt.

3. L¨osen Sie das Anfangswertproblem y⁰=P y+Q, y(0) = ⁻¹₁ .

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