Welche der folgenden Teilmengen des R2 sind offen? Welche sind abgeschlossen x, y) ∈R2 :x <1, x+y >2}, {(x, y)∈ R2 : x <1, x+y ≥ 2}, {(x, y)∈R2 :x2+y2 ≥2}, 2

Analysis in mehreren Variablen f¨ur LAK – F. Hofbauer

H¨oherdimensionale R¨aume

1. Welche der folgenden Teilmengen des R² sind offen? Welche sind abgeschlossen? [0,1]×[0,1], (0,1)×(0,1], (0,1)×(0,1), {(x, y) ∈R² :x <1, x+y >2}, {(x, y)∈ R² : x <1, x+y ≥ 2}, {(x, y)∈R² :x²+y² ≥2},

2. Was ist der Rand der Mengen in Beispiel 1? Welche Mengen in Beispiel 1 sind beschr¨ankt?

3. Sei (x_n)_n≥1 eine konvergente Folge inR^d. Man zeige, dass die Folge beschr¨ankt ist.

4. Ist die Funktion f im Punkt (0,0) stetig: f(x, y) = _x2^xy+y² f¨ur (x, y)̸= (0,0) und f(0,0) = 0.

Wie sehen die Funktionswerte auf der Diagonale aus?

5. Ist die Funktion f im Punkt (0,0) stetig: f(x, y) = _x^x2²+y^y22 f¨ur (x, y)̸= (0,0) und f(0,0) = 0.

Wie w¨ars mit x²y² ≤(x²+y²)²? Mehrdimensionales Integral 6. Berechne ∫

B2x+ 3y d(x, y) mitB= [0,2]×[3,4], ∫

Bxy+y−2d(x, y) mitB= [0,1]×[0,1].

7. Berechne ∫

Be^x+yd(x, y) mit B= [1,2]×[1,2], ∫

Bsin(x+y)d(x, y) mit B= [0,^π₂]×[0,^π₂].

8. Berechne ∫

Bx²+y²d(x, y) mit B = [0,1]×[0,2], ∫

Bxy²+y³d(x, y) mit B= [0,1]×[0,1].

9. Man berechne ∫

Bx+y²d(x, y) wobeiB das Dreieck mit Eckpunkten (0,0), (1,0), (0,1) ist.

10. Man berechne ∫

Bx²+y²d(x, y) wobeiB das Dreieck mit Eckpunkten (0,0), (1,0), (¹₂,¹₂) ist.

11. Man berechne ∫

Bx²y d(x, y) mitB ={(x, y) :y ≥0, x²+y² ≤4}. 12. Man berechne ∫

Bxy d(x, y) mitB ={(x, y) :x ≥0, x² ≤y≤√ x}. 13. Man vertausche die Integrale und berechne: ∫1

0

∫1

y 6ye^1+x3dx dy. Am besten zeichnet man den Integrationsbereich und schreibt ihn dann als Normalbereich bez¨uglich der x-Achse.

14. Man vertausche die Integrale und berechne: ∫1 0

∫1

√y

√2 +x³dx dy.

15. Wie groß ist das Volumen unterhalb der Fl¨ache z =xy, das ¨uber dem Dreieck mit den Ecken (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) liegt?

16. Berechne ∫

Bx²z+xy d(x, y, z) mit B= [1,2]×[0,2]×[0,1].

17. Berechne ∫

B 2z

(x+y)² d(x, y, z) mit B = [1,2]×[2,3]×[0,2].

18. Man berechne∫

Bxyz d(x, y, z) wobeiBvon den Koordinatenebenen und der Ebenex+y+z = 1 begrenzt wird.

Ableitung

19. Man berechne die partiellen Ableitungen: f(x, y) = 3x²+ 5xy−y²+ 6, f(x, y) =ye^xsiny 20. Man berechne die partiellen Ableitungen: f(x, y, z) =x²z +xy²+yz, f(x, y, z) = ^x+y+z_x2+y²

21. Man berechne die Richtungsableitung: f(x, y) =x²+xy im Punkt (1,1) in Richtungv= ^√1

2

(₁

1

) 22. Man berechne die Richtungsableitung: f(x, y) = √^x+y

x²+y² in (4,3) in Richtung v= ^√1

2

(₋₁

1

) 23. Richtungsableitung: f(x, y, z) = _x2+y¹²+z² im Punkt (1,1,1) in Richtung v= ^√1

2

(₋₁

1 0

)

24. Man berechne die ersten und zweiten partiellen Ableitungen: f(x, y) = sinxy 25. Man berechne die ersten und zweiten partiellen Ableitungen: f(x, y) = 2x³y−x²y⁴ 26. Man berechne die ersten und zweiten partiellen Ableitungen: f(x, y) = log(x²+y²)

Extremwerte im Mehrdimensionalen

27. Man bestimme die lokalen Extremwerte der Funktionf(x, y) =xy(1−x−y) und finde heraus, ob sie Maxima, Minima oder Sattelpunkte sind. Man berechne die Menge aller Nullstellen.

28. Ebenso: f(x, y) =x²y+y³+ 3y²−9y =y(x²+ (y+ ³₂)²− ⁴⁵₄).

29. Ebenso: f(x, y) =yx² −4xy+y² =y(x²−4x+y).

30. Ebenso: f(x, y) = ⁴_y − ¹_x −4x+y = (y−4x)(1− _xy¹ ). Wo ist diese Funktion definiert?

Kurven und Fl¨achen

31. Sei u ∈(0,1) und b >0. Man zeige, dass γ(t) = (bcost/√

1−u²cos²t, bsint/√

1−u²cos²t) mit t∈[0,2π] eine Parameterdarstellung der Ellipse x²(1−u²) +y² =b² ist.

32. Man finde eine Parameterdarstellung eines Asts der Hyperbel ^x_a²2 − ^y_b²² = 1

33. Wenn t das Intervall [0,2π] durchl¨auft, dann durchl¨auft γ(t) = (sint,cost) den Einheitskreis.

Welche Kurve durchl¨auft γ(t) = (sin²t,cos²t)?

34. Kardioide: Der Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (2r,0) rollt im Gegenuhrzeigersinn auf dem festgehaltenen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (0,0). Welche Kurve beschreibt der Punkt (r,0)? Man zeige, dass γ(t) = (2rcost−rcos 2t,2rsint−rsin 2t) mit 0 ≤t ≤ 2π eine Parameterdarstellung dieser Kurve ist.

35. Durch z = xy ist ein Fl¨ache im R³ gegeben. Man bestimme die Tangentialebene im Punkt (2,1,2). (Man kann das als Gleichung xy −z = 0 oder als Parameterdarstellung φ(u, v) = (u, v, uv) affassen.)

36. Durch z =x²+ 4xy+y⁴ ist ein Fl¨ache imR³ gegeben. Man bestimme die Tangentialebene im Punkt (1,−1,−2)

37. Man bestimme die Punkte auf der Ellipsex²+2xy+2y²−1 = 0 mit horizontaler oder vertikaler Tangente.

38. Durch y² +x⁴ −10x² + 9 = 0 ist eine Kurve (sie besteht aus zwei zur y-Achse symmetrisch liegenden Teilen) im R² gegeben. Man bestimme die Punkte auf der Kurve mit horizontaler oder vertikaler Tangente.

Bogenl¨ange

39. Man berechne die Bogenl¨ange vonγ(t) = (^t₂²,^(2t+1)₃ ^3/2) mit 0≤t ≤4 40. Man berechne die L¨ange der Kardioide.

41. Man berechne die L¨ange der Raumkurve γ(t) = (e^tcost, e^tsint, e^t) mit 0≤t≤1.

42. Man berechne die L¨ange der Raumkurve γ(t) = (t, t²,⁴₃t³²) mit 0≤t≤1.

Oberfl¨ache

43. Seia > r >0 undL ={(x, y)∈R² :x^2/3+(y−a)^2/3 =r^2/3}. Man berechne den Fl¨acheninhalt der Rotationsfl¨ache, die entsteht, wenn L um diex-Achse rotiert.

44. Sei f(x, y) = √

8 (1−x)³ −√

8y. Man berechne den Fl¨acheninhalt des St¨ucks des Graphen, der in der Menge {(x, y, z) :x≥0, y≥0, z ≥0} liegt.

45. Sei f(x, y) = e^x+e^−x+√

3y. Man berechne den Fl¨acheninhalt des St¨ucks des Graphen, der

¨

uber dem Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (1,0) und (1,1) liegt.

Polarkoordinaten 46. Man berechne ∫

B 1

x²+y² d(x, y) mit B={(x, y) : 1≤x²+y² ≤2}. 47. Man berechne ∫

B 1

(x²+y²)² d(x, y) mit B ={(x, y) :x²+y² ≥1}. 48. Man berechne ∫

Bx²+ (y+ 1)²+ 1d(x, y) mit B ={(x, y) :x²+y² ≤4}.

49. Seir >0 undf(x, y) =r²−x²−y². Man berechne den Fl¨acheninhalt des St¨ucks des Graphen, der ¨uber der x-y-Ebene liegt.

Extremwerte mit Nebenbedingungen

50. Finde die Extrema der Funktionf(x, y) =x²+y² auf der Ellipseb²x²+a²y² =a²b² mita̸=b.

51. Man bestimme die Extrema der Funktion 2x+y−2z auf der Kugel x²+y²+z² = 1.

52. Welcher Punkt der Fl¨ache z =x²+y² hat von der Geraden (0,6,1) +t(1,1,0) den kleinsten Abstand?

53. Eine positive Zahl ist in drei Summanden zu zerlegen, sodass deren Produkt maximal ist.

54. Unter allen Dreiecken mit demselben Umfang hat das gleichseitige die gr¨oßte Fl¨ache. Hinweis:

Ein Dreieck mit Seiten a, b, c und halbem Umfang s hat Fl¨ache √

s(s−a)(s−b)(s−c).

55. Gesucht sind drei positive Zahlen, deren Summe 90 ist, sodass die Summe ihrer Quadrate maximal ist.

56. Man berechne den Minimalabstand zwischen der Hyperbelxy = 50 und der Geradenu+2v = 5.

Vektorfelder, Kurvenintegral 57. Man berechne ∫

γV(x)dx f¨ur V(x, y) =(_x

y

) und γ(t) = (t, t²) mitt ∈[0,1]

58. Man berechne ∫

γV(x)dx f¨ur V(x, y) =(_x²_y

x+y

) und γ(t) = (t³, t−1) mit t∈[−1,0]

59. Man berechne ∫

γV(x)dx f¨ur V(x, y, z) = (_xy

2 xz

)

und γ(t) = (t, t², t³) mit t∈[0,1]

60. Man berechne die von der Kardioide γ(t) = (2rcost−rcos 2t,2rsint−rsin 2t), 0 ≤ t ≤ 2π eingeschlossene Fl¨ache mit Hilfe des Satzes von Green.

61. Man berechne die von der Astroide γ(t) = (3rcost+rcos 3t,3rsint−rsin 3t), 0 ≤ t ≤ 2π eingeschlossene Fl¨ache mit Hilfe des Satzes von Green.

62. IstV(x, y) =(_xe^xy_(2+xy)

x³e^xy

) ein Gradientenfeld?

63. IstV(x, y) =( _xe^xy

x−3e^xy

) ein Gradientenfeld?

64. IstV(x, y, z) =

( _e^x_cosy+yz

−e^xsiny+xz xy+z

)

ein Gradientenfeld?

65. Man finde eine Stammfunktion: V(x, y) =( _(y+xy)e^x+y

(x+xy)e^x+y+1

) 66. Man finde eine Stammfunktion: V(x, y, z) =

( _2xy

x²+2yz y²+1

)