{ (x y z x, , ) 2+y2+ ≤z2 1}, K2:= (x y z x, , ) 2+y2+z2 < 12

(1)

Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 7

Aufgabe 1.

Man berechne durch Integration

a) das Volumen einer Pyramide der Höhe h, deren Grundfläche ein Quadrat der Kantenlänge l ist.

b) das Volumen eines Kegels der Höhe h, dessen Grundfläche ein Kreis mit Radius r ist.

c) das Volumen des Körpers, der von der Ebene z=0, dem Zylinder x²+y² =2xund dem Kegel x²+y² =z² oberhalb der x-Achse eingeschlossen wird.

Aufgabe 2.

Man betrachte die Mengen ^K¹^:⁼

{ (

^{x y z x}^{, ,}

)

²⁺^y²^{+ ≤}^z² ¹

}

^, ^K²^:⁼

⁽

^{x y z x}^{, ,}

⁾

²⁺^y²⁺^z² ^< ¹₂

und ^K^:⁼

{ (

^{x y z x}^{, ,}

)

²⁺^y² ^≤^{z z}²^, ^>⁰

}

^.

Man berechne mit Hilfe der Integraltransformationsformel das Volumen von

(

¹ ²

)

:

M = K −K ∩K, indem man den Quader ^: ¹^,1

[

^{0, 2}

]

^0,

2 4

Q = × π × π mittels der

Abbildung Φ

(

r^{, ,}

ϕ θ ) (

= x y z^{, ,}

) (

= rsin cos , sin cos , cos

θ ϕ

r

θ ϕ

r

θ )

auf K abbildet.

Aufgabe 3.

Auf der offenen Menge U ⊂ ⁵ sei die 2-Form

ω α

= dx₁∧dx₄+

β

dx₂∧dx₃+

γ

dx₃∧dx₅ gegeben, dabei seien die Funktionen

α β γ

, , ∈C U^∞( ). Dann ist z.B.

1 2 3 4 5

d dx dx dx dx dx

x x x x x

α α α α α

α = ^∂ +^∂ +^∂ +^∂ +^∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ .

Man berechne d

ω

=d

α

∧dx₁∧dx₄+d

β

∧dx₂∧dx₃+d

γ

∧dx₃∧dx₅ und zeige unter

Benutzung der Symmetrie

2 2

j i

i i j j i j

x x

x x x x x x

α α

∂ ∂

∂∂ = ∂ = ∂ =∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ und der Antikommunativität

i j j i

dx ∧dx = −dx ∧dx , dass ddω =0.