Zeigen Sie: a) M = (x, y, z)∈R3 : p x2 +y2−R2 +z2 =r2

J. M¨uller SoSe 2018 26.06.2018 9. ¨Ubung zur Vorlesung Differenzialgleichungen

Abgabe: Bis Dienstag, 03.07.2018, 8:30 Uhr im Kasten E5 E-Geb¨aude

Haus¨ubungen

A33: Es seien G⊂R^d offen undg :G→R^d lokal Lipschitz-stetig. Zeigen Sie: Ist v^∗ ∈G so, dass t⁺(v) =∞ und ϕ(t, v)→v^∗ (t→ ∞) f¨ur ein v ∈G, so ist g(v^∗) = 0.

A34: (zweidimensionaler Torus) F¨ur 0< r < R sei

M =M_r,R ={(x, y, z)∈R³ : (x²+y²+z²+R² −r²)²−4R²(x²+y²) = 0}.

Zeigen Sie:

a) M =

(x, y, z)∈R³ : p

x² +y²−R2

+z² =r² . b) M ist eine Hyperfl¨ache im R³.

A35: (Lemniskate) Es sei f :R² →R definiert durch f(x, y) = x²+y²2

−2(x²−y²) (x, y ∈R) und

L:=

(x, y)∈R² :f(x, y) = 0 . Uberlegen Sie sich, dass¨ M =L\

(0,0) eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R² ist. Gilt dies auch f¨ur L?

A36: Es seien a, b∈Rmit a < b. Berechnen Sie Rb

a|ϕ⁰| f¨ur (i) ϕ(t) = (cost,sint)^>,

(ii) ϕ(t) = (t,cosht)^>.