Tutorium Mathematik 2 (Prof. Kahl) - SS2011 Tim Seyler
Erg¨anzung zur Berechnung der Kreisfl¨ache
K :={x∈R2:|x| ≤r}={(x, y)∈R2|x2+y2 ≤r2} DaK ein Normalbereich ist, gilt:
Z
K
d(x, y) =
r
Z
−r
√ r2−x2
Z
−√ r2−x2
dydx=
r
Z
−r
2p
r2−x2dx
Als Substitution entnehmen wir der Formelsammlung: x=r·sin(t)→dx=r·cos(t)dt Jetzt m¨ussen wir noch die Integrationsgrenzen anpassen:
−π
2 = arcsin−r
r und π
2 = arcsinr r
Es folgt: 2r·
π
Z2
−π2
pr2−r2sin(t)2cos(t)dt=r2
π
Z2
−π2
cos(t)2dt=πr2
mit dem unbestimmten Integral:
Z
cos(x)2dx= x 2 +1
2sin(x) cos(x)
1
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