Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2010 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Differentialgeometrie I¨ Blatt 3
Aufgabe 3.1.
(i) Seiu:Rn→Reine affin lineare Funktion, d. h. gelteu(x) =hA, xi+b, wobeiA∈Rn undb∈Rsind.
Es bezeichneA(Ω) den Fl¨acheninhalt von graphu∩(Ω×R). Zeige f¨ur ein geschickt gew¨ahltes Rechteck R, dass
A(R) = Z
R
p1 +|Du|2dx
gilt. Definiere daher dµ:=p
1 +|Du|2dx≡p
det(gij) dx undA(Ω) :=R
Ω
dµ.
(ii) Gib dµf¨ur eine untere Hemisph¨are SnR,−:=SnR∩
xn+1<0 = ˆ x, xn+1
∈Rn+1:|ˆx|2+ (xn+1)2=R2, xn+1<0 an. Im Fall der Sph¨are schreiben wir dσ≡dµ.
Aufgabe 3.2. SeiM ⊂Rn+1 eine Hyperfl¨ache, die sich als Graph schreiben l¨asst,M = graphu|Ω, Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt, mitu∈C1( ¯Ω). Definiere f¨ur eine nichtnegative, stetige Funktionf :Rn+1→R
Z
M
fdµ:=
Z
Ω
f(x, u(x))p
1 +|Du|2dx≡ Z
Ω
f(x, u(x)) dµ.
F¨ur eine stetige Funktionf =f++f−, wobeif+:= max(f,0) undf−= min(f,0), f¨ur die sowohlR
M
f+dµ, als auch R
M
(−f−) dµ endlich ist, definieren wir R
M
fdµ = R
M
f+dµ−R
M
(−f−) dµ.Sei nun Ω⊂Rn konvex, M = graphu|Ω,u∈C2( ¯Ω) mitD2u >0. Zeige, dass
Z
M
Kdµ= Z
ν(M)
dσ
ist, wobeiν :M →Sn der nach unten gerichtete Normalenvektor anM ist und ν(M) :={p∈Sn :ν(q) = pf¨ur einq∈M}.
Hinweis: Verwende die Transformationsregel f¨ur Integrale und benutzeν um den Diffeomorphismus zu kon- struieren.
Aufgabe 3.3. Sei Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt,u∈C2( ¯Ω). Seiϕ∈Cc2(Ω). Berechne d
dtA(graph (u+tϕ))|t=0=:δA[u]hϕi.
Sei nunuein kritischer Punkt des Oberfl¨achenfunktionals, d.h. gelteδA[u]hϕi= 0 f¨ur alleϕ∈Cc2(Ω). Dann heißt graphuMinimalfl¨ache. Zeige, dass
H[graphu] = 0 gilt.
Aufgabe 3.4. Sei Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt,u∈C2( ¯Ω) und gelteH[graphu] = 0. Zeige, dass f¨ur alle ϕ∈Cc2(Ω)
A[u]≤ A[u+ϕ]
gilt.
Hinweis: Wende den Gaußschen Divergenzsatz auf eine geeignete Fortsetzung eines Normalenvektors an.
Begr¨unde auch, wieso der Divergenzsatz anwendbar ist.
Abgabe:Bis Dienstag, 04.05.2010, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
