Die zentrische Streckung
Definition: Unter einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Z und dem
Streckenverhältnis k verstehen wir eine Punktweise Abbildung der Ebene auf sich selbst.
Dabei gilt: Z=Z’
ZP’ : ZP = k
Z;k Schreibweise: P P’
Beispiel:
Die Strecke ZP=1, die Strecke ZP’=3. Wie groß ist der Streckungsfaktor?
k = ZP’ : ZP = 3 : 1 = 3
Das Streckenverhältnis ist dann positiv, wenn P und P’ auf der gleichen Seite von Z liegen.
Das Streckenverhältnis ist dann negativ, wenn P und P’ auf verschiedenen Seiten von Z liegen
k = positiv k = negativ
Bei der zentrischen Streckung entstehen keine kongruenten Bilder, nur wenn das Streckenverhältnis 1 der -1 ist. Ansonsten entsteht ein vergrößertes oder ein verkleinertes Bild.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
► Die zentrische Streckung ist eine winkeltreue Abbildung.
► Die Längen von Bild- und Originalfigur stehen im Verhältnis k.
► Der Umlaufsinn von Original- und Bildfigur ist gleich.
► Die Flächeninhalte von Bild- und Originalfigur stehen im Verhältnis k2.
► Ist k grösser als 1 oder kleiner als -1 Vergrößerung
► Ist k grösser als –1 und kleiner als 1 Verkleinerung
► Ist k grösser als 0 Gleiche Richtung
► Ist k kleiner als 0 Entgegengesetzte Richtung
Z P
P’
Z: Streckungszentrum P: Originalpunkt P’: Bildpunkt k: Streckfaktor
Z P P’ Z P
P’
