A18: Zeigen Sie: a) (Joukowski-Abbildung) Die Funktionj :C∗→Cmit j(z) =1 2 z+1 z (z∈C∗) ist surjektiv

J. M¨uller WiSe 2019/2020 04.12.2019

5. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie

A17: a) Zeigen Sie: Ist Ω⊂Coffen und istF ⊂C(Ω) normal, so istF lokal beschr¨ankt.

b) Finden Sie Funktionen fn ∈ C(C) so, dass {fn : n ∈ N} lokal beschr¨ankt, aber nicht normal inC(C) ist.

A18: Zeigen Sie:

a) (Joukowski-Abbildung) Die Funktionj :C^∗→Cmit j(z) =1

2 z+1 z

(z∈C^∗)

ist surjektiv.

b) cos(C) =C.

c) j bildet C\D konform aufC\[−1,1] ab und f¨ur R >1 ist j K_R(0)

eine Ellipse mit Halbachsen (R±1/R)/2.

A19: Beweisen Sie: Istf eine ganze Funktion und existiert ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet G6=Cmit f(C)⊂G, so istf konstant.

A20: Es seien Ω ⊂ C offen, f : Ω → C und (τaf)(h) := f(a+h)−f(a) f¨ur a ∈ Ω und |h| <

dist(a, ∂Ω). Dann heißtf winkeltreu an der Stellea, falls einα∈Rexistiert mit lim

r→0⁺

τ_af(re^iθ)

|τaf(re^iθ)| =e^i(θ+α)

f¨ur alle θ ∈ R. Zeigen Sie: Ist f ∈ H(Ω) nicht lokal konstant an a, so ist f genau dann winkeltreu ana, wennf⁰(a)6= 0 gilt.

Verwenden Sie: Hatf anaeinew-Stelle der Vielfachheit m, so existieren eine UmgebungU von 0 und eine aufU holomorphe und injektive Funktion g mit f(a+h)−w =g^m(h) f¨ur h∈U.