1. Bestimmen Sie alle z ∈ C , so dass der Ausdruck z + 1 z reell ist.

Otto-von-Guericke-Universit¨ at Magdeburg 15.04.2021 Institut f¨ ur Analysis und Numerik

PD. Dr. B. Rummler

Funktionentheorie (SS 2021) Ubungsaufgaben, Serie 1 ¨

1. Bestimmen Sie alle z ∈ C , so dass der Ausdruck z + ¹ _z reell ist.

2. Zu einer gegebenen Zahl z ∈ C sei z ⁰ ∈ C diejenige Zahl, welche durch Spiegelung des Punktes z an der imagin¨ aren Achse hervorgeht. Geben Sie einen rechnerischen Ausdruck f¨ ur z ⁰ in Abh¨ angigkeit von z an.

3. Bestimmen Sie f¨ ur die folgenden Funktionen f ob der Grenzwert lim

z→0 f(z) existiert und falls ja, bestimmen Sie diesen Grenzwert.

a) f(z) = ^|z| _z

b) f(z) = ^z _z ^¯

c) f(z) = _|z|−1 ^z+i d) f(z) = Re(z) Im(z)

|z|

4. Gegeben seien a, c ∈ R und b ∈ C . Zeigen Sie, dass die Punktmenge M :=

z ∈ C : a|z| ² + bz + bz + c = 0 eine Kreislinie oder eine Gerade ist, falls ac < |b| ² gilt.

5. Zeigen Sie, dass die reellen Matrizen der Form

x y

−y x

, versehen mit der ¨ ublichen

Addition und Multiplikation, einen K¨ orper bilden, der zu C isomorph ist.