1. Substitutionsmethode: Bestimmen Sie das Integral Z

Vektoranalysis – Sommersemester 2010 Blatt 3: Integrationstechniken, Bogenl¨ ange

von Kurven, uneigentliche Integrale

Aufw¨ armbeispiele

Aufw¨ armbeispiele dienen dazu, Ihnen grundlegende Begriffe und Rechenfertigkeiten in Erinne- rung zu rufen. Das Rechnen dieser Beispiele ist nicht verpflichtend, aber es hilft Ihnen bei der Bew¨ altigung der (schwierigeren) Ankreuzbeispiele.

1. Substitutionsmethode: Bestimmen Sie das Integral Z

e ^{cos x} sin x dx mit Hilfe der Substitution u = cos x.

2. Komplexe Integranden: Bestimmen Sie das Integral Z 2π

0

e ^ix dx .

3. Uneigentliche Integrale: Pr¨ ufen Sie nach, f¨ ur welche Werte von α die folgenden Grenz- werte jeweils existieren:

G 1 (α) = lim

A→0

Z 1 A

dx

x ^α , G 2 (α) = lim

B→∞

Z B

1

dx x ^α 4. Absch¨ atzungen: Bestimmen Sie Konstanten C i > 0 und α i ∈ R so, dass

C ₁ x ^α

≤ √

x(1 + x) ≤ C ₂ x ^α

f¨ ur x ∈ (0, 1), C ₃ x ^α

≤ √

x(1 + x) ≤ C ₄ x ^α

f¨ ur x ∈ (1, ∞) gilt. Welche Absch¨ atzungen lassen sich f¨ ur ^√ _x(1+x) ¹ angeben?

Ankreuzbeispiele

Die folgenden Beispiele k¨ onnen zu Beginn der ¨ Ubungseinheit angekreuzt (bzw. in Ausnah- mef¨ allen schon davor in ausgearbeiteter Form abgegeben) werden. F¨ ur jedes angekreuzte Beispiel erhalten Sie einen halben Punkt bis zu einem Maximum von 18 Punkten f¨ ur das gesamte Se- mester. Per Zufall wird ausgew¨ ahlt, wer welches angekreuzte Beispiel an der Tafel vorrechnet.

K¨ onnen Sie ein von Ihnen angekreuztes Beispiel nicht vorrechnen ¹ , so werden Ihnen 2 ⁿ Kreuze aberkannt, wobei n die Zahl der Beispiele bezeichnet, die von Ihnen bereits davor in diesem Semester nicht nicht pr¨ asentiert werden konnten.

1

Beim Vorrechnen ist es nicht zwingend erforderlich, dass die pr¨ asentierte L¨ osung richtig ist. Es muss aber

erkennbar sein, dass Sie sich mit dem Beispiel ernsthaft besch¨ aftigt haben.

1. Elementare Integration: Bestimmen Sie zumindest zwei der folgenden Integrale:

I 1 = Z

e ^{cos x} sin ³ x dx I ₂ =

Z x ³ − 2x + 1 x ² − 4 dx I 3 =

Z e ^x sinh x e ^x + 1 dx 2. Integration auf Umwegen: Bestimmen Sie das Integral

J = Z

e ^3x cos(2x) dx (a) durch partielle Integration,

(b) durch Betrachtung des komplexwertigen Integrals R

e ^(3+2i)x dx 3. Bogenl¨ ange von Graphen:

(a) Bestimmen Sie das Integral

Z

cosh ² u du (i) mittels partieller Integration,

(ii) mittels Zerlegung des Integranden in Exponentialfunktionen.

(b) Bestimmen Sie die Bogenl¨ ange des Graphen von f (x) = x ² im Bereich x ∈ [− ¹ ₂ , ¹ ₂ ].

4. Existenz von uneigentlichen Integralen: Uberpr¨ ¨ ufen Sie jeweils durch eine geeigne- te Absch¨ atzung und den Vergleich mit einem Integral der Art R _dx

x

mindestens drei der folgenden uneigentlichen Integrale auf Existenz:

J ₁ = Z 1

0

√ dx

x(1 + x) J ₂ =

Z ∞

1

√ dx

x(1 + x) J ₃ =

Z ∞

1

dx

x ^1/2 + x ^1/3 + x ^1/4 + 1 J ₄ =

Z 1 0

dx x(1 − x)

5. Existenz von uneigentlichen Integralen: Zeigen, dass f¨ ur alle n ∈ N das uneigentliche Integral

Γ(n) :=

Z ∞

0

t ⁿ⁻¹ e ^−t dt existiert und bestimmen Sie seinen Wert.

[Hinweis: Leiten Sie eine Rekursionsbeziehung zwischen Γ(n) und Γ(n − 1) her.]