1. Jacobi-Matrix: Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion f : R 2 → R 2 , f (x, y) =

Vektoranalysis – Sommersemester 2010 Blatt 2: Implizite Funktionen, Integration

Aufw¨ armbeispiele

Aufw¨ armbeispiele dienen dazu, Ihnen grundlegende Begriffe und Rechenfertigkeiten in Erinne- rung zu rufen. Das Rechnen dieser Beispiele ist nicht verpflichtend, aber es hilft Ihnen bei der Bew¨ altigung der (schwierigeren) Ankreuzbeispiele.

1. Jacobi-Matrix: Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion f : R ² → R ² , f (x, y) =

x ² + y e ^{x sin y}

2. Invertierbarkeit von Matrizen: Uberpr¨ ¨ ufen Sie, f¨ ur welche (x, y) ∈ R ² die Matrix

M =





e ^xy 0 e ^xy y 1 2x

x 2 y





invertierbar ist.

3. Integration von Polynomen: Bestimmen Sie das Integral I =

Z 1

−1

x ³ − 3x ² + x − 1 dx .

4. Integration und Symmetrie: Argumentieren Sie (a) mittels Stammfunktion, (b) anhand von Symmetrie¨ uberlegungen, warum

Z π

−π

sin x dx = 0 sein muss.

Ankreuzbeispiele

Die folgenden Beispiele k¨ onnen zu Beginn der ¨ Ubungseinheit angekreuzt (bzw. in Ausnah- mef¨ allen schon davor in ausgearbeiteter Form abgegeben) werden. F¨ ur jedes angekreuzte Beispiel erhalten Sie einen halben Punkt bis zu einem Maximum von 18 Punkten f¨ ur das gesamte Se- mester. Per Zufall wird ausgew¨ ahlt, wer welches angekreuzte Beispiel an der Tafel vorrechnet.

K¨ onnen Sie ein von Ihnen angekreuztes Beispiel nicht vorrechnen ¹ , so werden Ihnen 2 ⁿ Kreuze aberkannt, wobei n die Zahl der Beispiele bezeichnet, die von Ihnen bereits davor in diesem Semester nicht nicht pr¨ asentiert werden konnten.

1

Beim Vorrechnen ist es nicht zwingend erforderlich, dass die pr¨ asentierte L¨ osung richtig ist. Es muss aber

erkennbar sein, dass Sie sich mit dem Beispiel ernsthaft besch¨ aftigt haben.

1. Aufl¨ osbarkeit von Gleichungssystemen: Zeigen Sie, dass sich das Gleichungssystem f 1 (x, y, z) = x e ^z − y ² e ^xz = 0,

f ₂ (x, y, z) = xy + z ² − y = 0

am Punkt x = y = 1, z = 0 nach x und y aufl¨ osen l¨ asst. Bestimmen Sie f¨ ur diese Aufl¨ osungen x ⁰ (0) und y ⁰ (0).

2. Integration (I): Bestimmen Sie zumindest zwei der folgenden Integrale I 1 =

Z

x ² e ^−x dx I 2 =

Z

t cosh(t ² ) dt I ₃ =

Z

ln(1 + x ² ) dx

3. Integration (II): Bestimmen Sie zumindest zwei der folgenden Integrale I 4 =

Z 1 0

r ² √

1 − r dr I 5 =

Z e ^x 1 + e ^2x dx I 6 =

Z π

−π

sin ³ ϕ

1 + cos ² ϕ + cos ⁴ ϕ dϕ 4. Partialbruchzerlegung: Leiten Sie mit Hilfe des Integrals

I = Z 1

0

x ⁴ (1 − x) ⁴ 1 + x ² dx . eine Absch¨ atzung f¨ ur π her.

5. Orthogonalisierung von Polynomen: Bestimmen Sie die Koeffizienten der Polynome P 0 (x) = a 00 ,

P 1 (x) = a 10 + a 11 x ,

P ₂ (x) = a ₂₀ + a ₂₁ x + a ₂₂ x ² , P 3 (x) = a 30 + a 31 x + a 32 x ² + a 33 x ³ so, dass P _i (1) = 1 f¨ ur i = 0, 1, 2, 3 und

Z 1

−1

P i (x) P j (x) dx = 0 f¨ ur i 6= j ist.