33. Die Jacobi-Matrix

Institut für Theoretische Physik Prof. Dr. Martin Zirnbauer

der Universität zu Köln Daniel Wieczorek

Mathematische Methoden der Physik

Blatt 8

WS 2014/15

Abgabe:02.12.2014 bis 12 Uhr im entsprechenden Briefkasten Besprechung:04.12.2014 in den Übungsgruppen

Website:http://www.thp.uni-koeln.de/∼dwieczor/mm1415

33. Die Jacobi-Matrix

Wie Ihnen aus der Vorlesung und der Übung bereits wohlbekannt ist, liefert das Differential dF einer Funktion F : X → Y zwischen affinen Räumen für jeden Punkt p ∈ X eine lineare Abbildung zwischen den Differenzvektorräumen U und V von X und Y – und zwar diejenige, dieF inp am besten linear approximiert.

Sie wissen andererseits auch, dass lineare Abbildungen nach dem Fixieren von Basen Matrixdar- stellungen besitzen. SeienB_U ={e₁, ...,em}, B_V ={f₁, ...,fn} Basen vonU, V. Die Koordinaten vonXseienx₁, . . . x_mundy₁, . . . , y_ndiejenigen vonY. Ziel dieser Aufgabe ist es, die darstellende Matrix vond_pF zu berechnen.

a) Ein allgemeinesF hat den Funktionsterm F(x₁, . . . x_m) =o_Y +

n

X

i=1

F_i(x₁, . . . x_m)f_i

mit ndifferenzierbaren Funktion Fi:X →R. Geben Sie dF an.

Beachten Sie dabei, dass dies die von nun an verwendete Kurzschreibweise für F(p) =o_Y +

n

X

i=1

F_i(x₁(p), . . . x_m(p))f_i

ist, d.h. der Punkt pwird unterdrückt.

Hinweis: Erinnern Sie sich ggf. auch an Aufgabe 26c.

b) Zeigen Sie nun, dass die MatrixdarstellungJ_F(p) von d_pF bzgl. B_U,B_V durch (J_F(p))_ij = ∂F_i

∂x_j(p) gegeben ist. Dies ist die sogenannte Jacobi-Matrix.

c) Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen für die FunktionF, G, G◦F aus Aufgabe 28. Über- zeugen Sie sich durch eine Rechnung, dass sich die Kettenregel hier in das Produkt der Jacobi-Matrizen übersetzt:

JG◦F(p) =J_G(F(p))·J_F(p).

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34. Die ominöse “Ableitung nach der Zeit”

In der Vorlesung über Experimentalphysik ist sie Ihnen sicherlich bereits über den Weg gelaufen:

IstF :X →Reine differenzierbare Funktion, so findet man häufig Ausdrücke wie

„dF dt = ∂F

∂xi

˙ xi“.

Gemeint ist damit Folgendes: Natürlich werden nicht die Koordinaten selbst nach der Zeit diffe- renziert, sondern man betrachtet zusätzlich eine differenzierbare Kurveγ :R→X, t7→γ(t).

F ◦γ bildet dann von R nach R ab und kann nach seiner (einzigen!) Variable t differenziert werden. Zeigen Sie also (z.B. mit Hilfe von 33c)

d(F◦γ)

dt =

m

X

i=1

∂F

∂x_i(γ(t))γ⁰_i(t).

35. Kugelkoordinaten

a) Im euklidischen Raum E3 mit Standardkoordinaten x_i und Ursprung p₀ werden Kugel- koordinaten durch

x₁=rsinθcosφ x₂ =rsinθsinφ x₃=rcosθ

erklärt. Erläutern Sie unter Verwendung einer Zeichnung die Bedeutung vonr, θ, φ und der Transformationsvorschrift.

b) Berechnen Sie die Basisvektorfelder∂_r, ∂_θ, ∂_φund zeigen Sie, dass diese in jedem Punkt paarweise orthogonal sind. Berechnen Sie zusätzlich die Norm dieser Vektorfelder.

Hinweis: Wenn man einen Punktp=p0+P

ixiei mittels obiger Vorschrift als Funktion seiner Kugelkoordinaten auffasst, d.h.

p=p0+rsinθcosφe1+rsinθsinφe2+rcosθe3,

so erhält man das i. Basisvektorfeld durch partielles Differenzieren nach der entspre- chenden Koordinate, etwa ∂r = ^∂p_∂r.

36. Flächenintegrale

InE3 mit Standardkoordinaten seien drei Flächenparametrisierungen gegeben:

σ₁, σ₂, σ₃ : [0,1]×[0,1] → E3

σ₁ : (s, t) 7→ p₀+scos(2πt)e_x+ssin(2πt)e_y σ2 : (s, t) 7→ p0+ (2s−1)ex+ (4t−2)p

s(1−s)ey

σ3 : (s, t) 7→ p0+sex+tey+ (s(1−s) +t(1−t))ez

a) Berechnen Sie _∂s^∂σ_i(s, t) und _∂t^∂σ_i(s, t) für die drei Parametrisierungen.

Weiterhin seien die zwei 2-Formenα1=dx∧dyund α2 =z dx∧dy gegeben.

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b) Berechnen SieR

σ1α1,R

σ2α1,R

σ3α1 und R

σ3α2.

Erinnerung:Berechnen Sie dazu jeweils (α_j)_σi(s,t),(α_j)_{σi(s,t) ∂s}^∂σ_i(s, t),_∂t^∂σ_i(s, t) und Z 1

0

Z 1

0

(αj)_σi(s,t) ∂

∂sσi(s, t), ∂

∂tσi(s, t)

dt

ds Hinweis: FürR

σ2α₁ ist die Substitutions= (1−cos(u))/2nützlich.

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