Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Christopher Max

Theoretische Physik I 10. Übung - Lösung

Wintersemester 18/19

31 Rotierender Ring

a) Die Geschwindigkeit des Rings beträgt v = ωR. Der Umfang der Rings unter Be- rücksichtigung der Längenkonstraktion ist durch U = 2πR

q

1 − ω ^{2 R} _c

gegeben. Der Radius des Rings bleibt unverändert und somit gilt

U/R = 2π r

1 − ω ² R ² c ² .

b) Der Radius x des roten Kreises is gegeben durch x = r sin(R/r). Somit ist der Umfang des Kreises durch U = 2πx = 2πr sin(R/r) gegeben. Somit gilt

U/R = 2π sin(R/r) R/r .

c) In beiden Beispielen ist das Verhältnis des Umfangs zum Radius nicht mehr durch die übliche Formel U = 2πR gegeben. Eine mögliche Interpretation dieser Tatsache ist, dass man den Raum als gekrümmt ansieht. Diese Idee ist zentral in der allgemeinen Relativitätstheorie. Hier lässt sich wie bereits suggeriert, die Krümmung durch die Krümmung einer Kugel beschreiben. Offensichtlich hängt die Krümmung einer Kugel nur von dessen Radius r ab. Indem wir fordern, dass die Verhältnisse U/R in beiden Bildern gleich sind, die Kugel somit die gleiche Geometrie wie das drehende System vorweist, bekommen wir die Gleichung

sin(R/r)

R/r =

r

1 − ω ² R ² c ² .

Da die Bestimmung von r im Allgemeinen analytisch kompliziert ist, beschränken wir uns der Einfachheit halber auf den Fall ω << c/R, d.h. ωR/c << 1. Dann muss die linke Seite der Gleichung fast 1 sein, d.h. R/r << 1. Somit können wir beide Seiten nähern und erhalten

1 − 1 6

R ²

r ² = 1 − ω ² 2

R ²

c ² ⇒ r = 1

√ 3 c ω .

Der Radius der Kugel nimmt somit mit steigender Frequenz ω ab, d.h. die Krümmung der Kugel steigt mit steigendem ω.

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31 Synchronisieren von Uhren

Nach der ersten Methode wird die Uhr am Ort P beim erreichen des Lichtsignals auf die Zeit d/c gestellt. Die Zeit, an der die Uhr der zweiten Methode am Ort P eintrifft, ist dann durch

t ₁ = (d/v − d/c) + d/c = d/v

gegeben. Durch die Zeitdilatation ist auf dieser Uhr aber nur die Zeit t 2 = p

1 − v ² /c ² d/v vergangen. Der Zeitunterschied ist somit

t ₁ − t ₂ = 1 − p

1 − v ² /c ² d/v.

Für kleines v können diese Differenz wie folgt nähern:

t ₁ − t ₂ ≈ v ² 2c ²

d v = dv

2c ²

−→ v→0 0.

D.h. für v → 0 sind die Zeiten gleich.

32 Überlichtgeschwindigkeit?

qualitativ: wegen c < ∞ erscheinen einem Beobachter Ereignisse desto mehr verzögert je weiter entfernt sie vom Beobachter stattfinden. Die Gaswolke bewegt sich auf dem Beobachter zu, weshalb die Entfernung und damit auch die Verzögerungszeit abnimmt, hieraus resultiert letztendlich eine scheinbar höhere vertikale Geschwindigkeit. Durch diesen Effekt kann eine Geschwindigeit v ⊥ < c dem Beobachter als eine beobachtete Geschwindigkeit v _B > c erscheinen.

quantitativ: Distanz der Gaswolke senkrecht zur Beobachtungslinie (Länge L): s(t) = v ⊥ t, Beobachtungszeit: t _B = t + ¹ _c (L − v k t), somit ^dt _dt

= 1 − ^v _c

und

v _B = ds dt B

= ds dt

dt dt B

= v ⊥

1 − ^v _c

.

Für hinreichend großes v k < c also v _B > c möglich, auch wenn v ⊥ < c.

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