Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Christopher Max

Theoretische Physik I 13. Übung - Lösung

Wintersemester 18/19

39 Coaxialkabel (10)

Das Magnetfeld besteht aus geschlossenen Feldlinien, die radial um den Zylinder bzw.

um den Draht verlaufen. Die Amplitude des Magnetfeldes hängt nur vom Abstand r von der Symmetrieachse ab. D.h. es gilt in Zylinderkoordinaten

B(r, ϕ, z) = ~ B(r)~ e _ϕ .

Es bezeiche S _r den Kreis vom Radius r mit Mittelpunkt auf der Symmetrieachse, der in der Ebene senkrecht zu der Symmetrieachse liegt (siehe Zeichnung). D _r bezeichne die Kreisscheibe mit Rand S _r . Es gilt die Maxwellgleichung rot( B) = ~ µ ₀ ~j. Für r < R

beträgt der Strom durch die Fläche

I = Z

D

~j ~ df .

Für r > R beträgt der Strom durch die Fläche

0 = I − I = Z

D

~j ~ df .

1

Die Amplitude kann nun über folgendes Integral bestimmt werden:

I

S

B ~ (r) d` ~ = B(r)2πr

= Z

D

rot( B ~ (r)) df ~ = µ ₀ Z

D

~j ~ df .

Daraus folgt B (r) = ^µ _2πr

^I für r < R und B (r) = 0 für r > R.

40 Elektrisches Feld eines Plattenkondensators (6 +4)

a) Wir betrachten ein Quader Q dessen obere und untere Fläche, sowie die Schnittflä- che mit der Platte, den Flächeninhalt A haben (siehe Zeichnung). Zudem sei a der Abstand der Ebenen von der Platte. Wegen der Symmetrie des Systems muss das elektrische Feld die Form

E(~ ~ r) = E(z)~ e _z für ~ r = _x

y z

haben, wobei ~ e _z die Richtung senkrecht zu der Ebene bezeichne. Zudem muss E(−z) =

−E(z) gelten. Wie immer berechnen wir die Amplitude anhand eines Integrals:

Z

∂Q

E(~ ~ r) df ~ = E (a)A − E(−a)A = 2AE(a)

= Z

Q

div( E(~ ~ r))d ³ r = Aσ/ε ₀ .

Daraus folgt E(a) = ( σ

2ε

für a > 0,

− _2ε ^σ

0

für a < 0 = _|a| ^a _2ε ^σ

0

. Es gilt also

E(~ ~ r) = z

|z|

σ 2ε ₀ ~ e _z .

2

b) Hier besteht das System aus zwei Platten parallelen vom Abstand d. Die Platte mit Flächenladungsddichte σ liege im Ursprung und die Platte mit Flächenladungsdichte

−σ schneide die z-Achse bei (0, 0, −d) ^t .

Da die Maxwellgleichungen linear sind, können die elektrischen Felder der Platten einzeln berechnet werden und dann addiert werden. Daraus ergibt sich mit a) das Feld

E(~ ~ r) = z

|z|

σ

2ε ₀ ~ e _z − z + d

|z + d|

σ 2ε ₀ ~ e _z .

41 Gravitationsfeld (6 +4)

a) Das Gravitationsfeld muss parallel zur radialen Richtung sein und kann in der Am- plitude nur vom Abstand zum Urspreung abhängen, d.h. es hat die Form

~ g(~ r) = g(r)ˆ r.

Es bezeichne S _r die 2-dimensionale Sphäre vom Radius r und B _r den 3-dimensionalen Ball vom Radius r. Es gilt

Z

S

~ g(~ r ⁰ ) df ~ = Z

S

g(r)| df ~ | = 4πr ² g (r)

= Z

B

div(~ g(~ r ⁰ ))d ³ r ⁰ = −4πG Z

B

ρ(~ r ⁰ )d ³ r ⁰ . R

B

ρ(~ r ⁰ )d ³ r ⁰ ist bestimmt durch die Masse, die innerhalb von S _r liegt. Hier gilt damit M = R

B

ρ(~ r ⁰ )d ³ r ⁰ . Daraus folgt

g(r) = −G M r ² .

Die Kraft auf eine Punktmasse am Ort ~ r ist F ~ (~ r) = ~ g(~ r)m = −G ^{M m} _r

r. ˆ b) Die Kugel hat die homogene Massendichte ρ = M _4πR ³

. Es gilt M = R

B

ρ(~ r ⁰ )d ³ r ⁰ für r ≥ R und R

B

ρ(~ r ⁰ )d ³ r ⁰ = M _R ^r

für r < R. Damit folgt

~ g(~ r) =

( −GM _R ^r

r ˆ fürr < R,

−G ^M _r

r ˆ fürr ≥ R.

Die Kraft auf eine Punktmasse am Ort ~ r ist wieder F ~ (~ r) = ~ g(~ r)m = −G ^{M m} _r

r. ˆ c) Die Schwerkraft außerhalb der der Erde ändert sich nicht, da nur die Gesamtmasse

innerhalb der Kugel relevant ist. Nach diesem Argument muss die Schwerkraft inner- halb der Kugel verschwinden. Damit erf¨ hrt ein Objekt im Inneren der Kugelschale keine Schwerkraft.

3