Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Christopher Max

Theoretische Physik I 14. Übung -Lösung

Wintersemester 18/19

42 Eindimensionale Wellen

a)

∂²f

∂t²

=

. b) Es gilt

∂

f

∂t

= c

u

(x − ct) und ∂

f

∂x

= u

(x − ct).

Daraus folgt direkt, dass f

Lösungen der Wellengleichung sind.

f_(x,t)

Ort x

Zeit t

Abbildung 0.1: Zeichnung der Funktion f

. Man sieht, dass sich das Wellenpaket mit Geschwindigkeit 1 entlang der x-Achse bewegt. Die Zeichnung für f

sieht genauso aus, nur die Richtung der Geschwindigkeit ist umgekehrt.

c)

d) Die Lösungen bilden einen Vektorraum. Das heisst insbesondere, dass die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung ist.

e)

43 Ebene harmonische Wellen

Es müssen die Maxwellgleichungen im Vakuum erfüllt sein, d.h.

div( E) = 0, ~ div( B ~ ) = 0, rot( E) = ~ − B, ˙ rot( B) = ~ 1 c

~ ˙ E.

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Abbildung 0.2: Die Wellenpakete laufen aufeinander zu,überlagern sich und laufen an- schliessend wieder auseinander. Die Amplituden der Wellen addieren sich dabei.

Für die gegebenen Felder E(~ ~ r, t) und B(~ ~ r, t) gilt ÷( E)(~ ~ r, t) = E ~

~k(− sin(~k~r − ωt)) und div( B)(~ ~ r, t) = B ~

~k(− sin(~k~r − ωt)). Daraus folgt, dass E ~

und B ~

senkrecht auf ~k sein müssen.

Es gilt rot( E)(~ ~ r, t) = ~k × E ~

(− sin(~k~r − ωt)) und B(~ ~ ˙ r, t) = B ~

ω sin(~k~r − ωt). Daraus folgt

B ~

ω = ~k × E ~

. Analog folgt aus der letzten Maxwellgleichung

E ~

ω

c

= −~k × B ~

.

Da E ~

und B ~

senkrecht aus ~k sind, folgt daraus ω = |~k|c und B ~

=

k ˆ × E ~

.

44 Ebene harmonische Wellen

a) Es gelten die Maxwellgleichungen im Vakuum. Da die Fläche Q konstant ist folgt damit

U

nd(t) = d

dt Φ(t) = d dt

Z

Q

B(~ ~ r, t) df ~ = Z

Q

d dt

B ~ (~ r, t) df ~ = − Z

Q

rot( E)(~ ~ r, t) df . ~

Hier können wir den Satz von Stokes anwenden:

− Z

Q

rot( E) ~ df ~ = − Z

∂Q

E(~ ~ r, t) dl. ~

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Zusammenfassend gilt also U

nd(t) = d

dt Z

Q

B(~ ~ r, t) df ~ = − Z

∂Q

E(~ ~ r, t) dl. ~

b) Aus der Aufgabe 43 wissen wir bereits, wie eine ebene harmonische Welle aussieht.

Mit k

= k~ e

und E ~

= E

~ e

gilt E(~ ~ r, t) = E

cos k(x − ct)

~ e

, B(~ ~ r, t) = − E

c cos k(x − ct)

~ e

.

Insbesondere gilt B(~ ~ ˙ r, t) = E

k sin k(x − ct)

~ e

. Nach dem Induktionsgesetz gilt nun U

(t) =

Z

Q

~ ˙

B(~ r, t) df ~ = Z

−a/2

Z

−a/2

E

k sin k(x − ct) dx dy

=aE

cos(ak/2 + ct) − cos(ak/2 − ct)

=2aE

cos(ka/2) cos(ct).

wobei benutzt wurde, dass ~ e

k df ~ gilt.

c) Hier gilt

E(~ ~ r, t) = E

cos k(y − ct)

~ e

, B(~ ~ r, t) = E

c cos k(y − ct)

~ e

.

Damit gilt B(~ ~ ˙ r, t) = E

k sin k(y − ct)

~ e

. D.h. das Magnetfeld (sowie deren zeitl.

Ableitung) liegt immer senkrecht zum Normalenvektor von Q und somit verschwindet das Integral U

(t) = R

Q

~ ˙

B(~ r, t) df ~ = 0.

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