Σ ∞ n=1 z n n 2.Es gilt für den Konver-

Heiko Dumlich und Max Homann

3. Mai 2006

2 Aufgaben zur Mathematikvorlesung für Physiker IV

2.1

(a)

Wirbestimmenden Konvergenzradius derPotenzreihe

Σ ^∞ _n=1 ^z _n ⁿ 2

genzradius

R = ¹

limsup ⁿ √

| a n |

.Somit folgtfür unsere Potenzreihe :

R = 1

limsup ⁿ q 1

n ²

= 1

limsup ⁿ √ ¹ n ²

= 1

limsup ₍ n √ ¹ n) ²

Wirwissen, dass

√ n

n −→ 1

n −→ ∞

R = 1

1 1 ²

= 1

Somit beträgt derKonvergenzradius

R = 1

(b)

Wirbetrachten dieRandpunkte desKonvergenzkreises. Für

z = 1

Σ ^∞ _n=1 z ⁿ

n ² −→ Σ ^∞ _n=1 1

n ² −→ π ² 6

Diese Reiheist bekannt undkonvergiert.

Für denFall,dass

z = − 1

Σ ^∞ _n=1 z ⁿ

n ² −→ Σ ^∞ _n=1 ( − 1) ⁿ

n ² −→ − π ² 12

DieseReihekonvergiertauch,dasieauseinerLeibnizreiheundeinekonvergentenReihe

besteht.Siekonvergiertsogar schneller als fürden Fall

z = 1

Wir erhalten für die gliedweise abgeleitete Reihe aus

f(z) = Σ ^∞ _n=1 ^z _n ⁿ 2

f ⁰ (z) = Σ ^∞ _n=2 n ^{z n} _n ⁻ 2 ¹ = Σ ^∞ _n=2 ^{z n} _n ^{− 1}

R _f 0 = 1 limsup ⁿ

q 1 n

= 1

Dawirwie schon in(a)

√ n n −→ 1

n −→ ∞

WirbetrachtendasKonvergenzverhalteninden RandpunktendesKonvergenzkreises,

wobeifür

z = 1

Σ ^∞ _n=2 1

n −→ ∞

Diese Reiheist bekannt unddivergiert.

Für denFall,dass

z = − 1

Σ ^∞ _n=2 ( − 1) ^{n − 1}

n −→ ln(2) − 1 ≈ − 0.307

Somit konvergiert in diesem Fall nur einer der Randpunkte (

z = − 1

andere divergiert. Der Grenzwert ist jedoch auch verschieden von den Grenzwerten der

Stammreihe.

2.2

Wirbetrachten :

| e ^iz |

z = 6e ^{πi 3}

Wirkönnen somit

z

z = 6(cos π

3 + i sin π

3 ) = 6( 1 2 + i 1

2

√ 3) = 3 + √ 27i

schreiben.Damit folgtfür

| e ^iz |

| e ^iz | = | e ^{− √ 27+3i} | = | e ^{− √ 27} | · | e ³ⁱ | = | e ^{− √ 27} | · 1 ≈ 5.54 · 10 ^{− 3}

2.3

Wirbestimmen diekomplexen Nullstellen von

e ^z

e ^z = 0 + 0i

e ^z = e ^x+iy = e ^x · e ^iy = e ^x (cos y + i sin y)

⇒ 0 = e ^z = e ^x (cos y + i sin y)

⇔ 0 = cos y + i sin y

Hieran erkenne wir sofort, dass keine Lösung zu nden ist, da es keinen Wert

y ∈ R

gibt, für den

cos

sin 0