Die Funktion g ist unstetig in (0, 0), denn es gilt g(1/n 2 , 1/n) = 1/n 4

Blatt 6 (H¨ orsaal¨ ubung) Aufgabe 6.1

Die Funktion g ist unstetig in (0, 0), denn es gilt g(1/n ² , 1/n) = 1/n ⁴

1/n ⁴ + 1/n ⁴ = 1 2

n →∞

−−−→ 1

2 6 = 0 = g(0, 0) .

W¨ahlt man jedoch in Polarkoordinaten ein festes ϕ, so ist entweder cos ϕ = 0, also g(r cos ϕ, r sin ϕ) = 0 f¨ ur alle r, oder aber wir haben

g(r cos ϕ, r sin ϕ) = r ³ cos ϕ sin ² ϕ

r ² cos ² ϕ + r ⁴ sin ⁴ ϕ = r cos ϕ sin ² ϕ cos ² ϕ + r ² sin ⁴ ϕ

r → 0

−−→ 0

cos ² ϕ + 0 = 0 . Somit ist g im Nullpunkt l¨angs jeder Geraden stetig.

Aufgabe 6.2

a) D f = R ² \{R × { 0 }} , f x = (x, y) = ¹ _y , f y (x, y) = − y ^x

, f xx (x, y ) = 0, f xy (x, y) = f yx (x, y) = − y ¹

, f yy = ^2x _y

D g = R ² \{ (0, 0) } , g x (x, y) = _x

^2x _+y

, g y (x, y) = _x

^2y _+y

g xx (x, y) = ^2(y _(x

_+y ^{− x}

₎

⁾ , g xy (x, y) = g yx (x, y) = − _(x

^4xy _+y

₎

g yy (x, y) = ^2(x _(x

+y ^{− y}

)

⁾

b) f¨ ur f : z = − ¹ 2 + ¹ ₂ (x + 1) + ¹ ₄ (y − 2) f¨ ur g : z = ln 5 − ² ₅ (x + 1) + ⁴ ₅ (y − 2)

c) Die Niveauline N c (f) ergibt sich aus der Gleichung f(x, y) = c, also x ² + y ² = c. F¨ ur c < 0 erhalten wir die leere Menge, f¨ ur c = 0 nur den Nullpunkt und f¨ ur c > 0 einen Kreis um (0, 0) mit Radius √

c. N 0 ist also der Nullpunkt, N 1 der kleinere und N 2 der gr¨oßere Kreis.

- 6

x y

s

.. .. ... . .. . .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... . ... ... ... . . ... . ... ... ... ... ... ... . ... ... .. .. ... . ... .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . .. . . . . .. . . .. . . . .

. . . . . . .. . . . . . .. . .

. . . . .. . . . . . . . . . ...

.. . . . .. . . .. . . . . .. . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .

. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . .. .. . .. .. ... . .. ... . ... . ... .. ... ... ... . ... . ... ... ... ... . ... ... ... ... . ... .. . ... ... .. .. ... . .. ... .. .. . .. ... .. .. . .. . . .. ... . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ..

. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

.. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. .

.. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . .

. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . ...

. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . .

. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .

. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .

.. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .

. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .

N 0

N 1

N 2

Die Gleichung xy = c hat f¨ ur c = 0 die L¨osungsmenge { (x, y ) : x = 0 oder y = 0 } . F¨ ur c 6 = 0 erhalten wir den Graphen der Funktion y = _x ^c , die Niveaulinien sind also Hyperbeln. Die Skizze sieht wie folgt aus, wobei N 0 aus den beiden Achsen besteht.

- 6

x y

. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . ...

. . . . . . .. . . . . . . . . . . ...

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . .

... .

. .. . .. .. .. .. ... . .. .. ... .. . . .. .. ... .. . ... ... ... .. ... . ... . ... . ... ... ... . ... . ... . ... . ... ... ... ... . ...

. . .. .. .. . .. . . ... .. .. ... . .. .. .. . ... .. ... ... . ... .. ... . ... . ... ... ... ... . ... . ... . ... . ... . ... ... ... . ...

. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . . .. . .. . . .. .

. .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. .

. . . . .. . . . . . .. . . . .

. . .. . . . . . . .. . . . . . . ..

. . . . .. . . . . . . . . .. . . . .

. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. . . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. .. . . .. . .. .. . .. . .. . . . . .. .. . . .. .. . . . . .. . .. . . .. . . .. . .

. .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . ...

. . . .. . . . .. . . . . . ..

. .. . . . . . . .. . . . . .. . . .

. . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .

.. .. ... ... .. .. ... . ... .. ... .. ... .. ... . ... .. ... .. ... . ... . . ... . ... . ... . ... . ...

. .. .. ... ... . .. .. ... . ... .. ... . ... . . ... ... . . ... . . ... . ... . ... . ... . ... . ... .

...

N 1

N 1

N ⁻ 1

N ⁻ 1

N 2

N 2

N ⁻ 2

N ⁻ 2

Aufgabe 6.3

1.) Auch diese Funktion ist auf R ² \{ (0, 0) } offenbar stetig; es bleibt noch der Nullpunkt zu pr¨ ufen. Ist (x, y) 6 = (0, 0) und z := max {| x | , | y |} , so gilt

| f(x, y) | =

y ³ − x ² y x ² + y ²

6 | y ³ | + | x ² y |

x ² + y ² 6 z ³ + z ³

z ² = 2z = 2 max {| x | , | y |} , und damit folgt f (x, y) → 0 = f(0, 0) f¨ ur (x, y) → (0, 0).

2.) F¨ ur (x, y) 6 = (0, 0) gilt

f x (x, y) = − 2xy(x ² + y ² ) − (y ³ − x ² y)2x

(x ² + y ² ) ² = − 4xy ³ (x ² + y ² ) ² , f y (x, y) = (3y ² − x ² )(x ² + y ² ) − (y ³ − x ² y)2y

(x ² + y ² ) ² = − x ⁴ + 4x ² y ² + y ⁴ (x ² + y ² ) ² . Auf R ² \ { (0, 0) } haben wir also

grad f (x, y) = 1 (x ² + y ² ) ²

− 4xy ³

− x ⁴ + 4x ² y ² + y ⁴

T

Nun noch zum Nullpunkt: Definitionsgem¨aß gilt f x (0, 0) = lim

h → 0

f (0 + h, 0) − f(0, 0)

h = lim

h → 0

0 − 0 h = 0 und

f y (0, 0) = lim

h → 0

f(0, 0 + h) − f (0, 0)

h = lim

h → 0

f (0, h) h = lim

h → 0

1

h · h ³ − 0

0 + h ² = 1 .

Somit ist f auch in (0, 0) partiell differenzierbar mit grad f(0, 0) = (0 1).

3.) Betrachtet man

f x (x, x) = − 4x ⁴

(x ² + x ² ) ² = − 1 −−→ − ^{x → 0} 1 6 = 0 = f x (0, 0) , f y (x, 0) = − x ⁴ + 0 + 0

(x ² + 0) ² = − 1 −−→ − ^{x → 0} 1 6 = 1 = f y (0, 0) , so sieht man: Weder f x noch f y ist im Punkt (0, 0) stetig.

4.) Es sei ~v = (v ₁ , v ₂ ) 6 = (0, 0) eine beliebige Richtung. Dann gilt D ~ v f (0, 0) = lim

h → 0

f ((0, 0) + h~v ) − f (0, 0)

h = lim

h → 0

f (hv 1 , hv 2 ) h

= lim

h → 0

1

h · (hv 2 ) ³ − (hv 1 ) ² hv 2

(hv ₁ ) ² + (hv ₂ ) ² = lim

h → 0

h ³ v ³ ₂ − h ³ v ₁ ² v 2

h ³ (v ₁ ² + v ₂ ² ) = lim

h → 0

v ³ ₂ − v ² ₁ v 2

v ₁ ² + v ₂ ² = v ³ ₂ − v ₁ ² v 2

v ² ₁ + v ₂ ² . Dies soll nun mit

grad f(0, 0) · ~v = v ₂ verglichen werden. Es gilt

v ³ ₂ − v ₁ ² v 2

v ² ₁ + v ₂ ² = v 2 ↔ v ³ ₂ − v ² ₁ v 2 = v 2 (v ² ₁ + v ² ₂ ) ↔ 2v ₁ ² v 2 = 0 . Gleichheit gilt also genau dann, wenn v 1 = 0 oder v 2 = 0 ist.

5.) Da nach dem Ergebnis von 4. die Gleichung D ~ v f (0, 0) = grad f (0, 0) · ~v nicht f¨ ur

jede Richtung ~v gilt, also die Richtungsableitung D ~ v f in (0, 0) im allgemeinen nicht

linear von der Richtung ~v abh¨angt, kann f in (0, 0) nicht differenzierbar sein.