Universit¨at Regensburg, Institut f¨ur Theoretische Physik Winter 2019/2020 Prof. Dr. Christoph Lehner (Dozent), Maximilian Graml (Gruppe 1), Martin Wackerl (Gruppe 2), Julian Huber (Gruppe 3), Johannes M¨unch (Gruppe 4), Lukas Hennig (Gruppe 5), Thomas Naimer (Gruppe 6)
Ubungen zu Mathematische Methoden¨
Blatt 2 (abzugeben am 30. Oktober in den Briefk¨asten)
Aufgabe 1 Komplexe Zahlen (4 Punkte) Berechnen Sie den Real- und Imagin¨arteil von
a) 1/i b) 1/(2 + 3i)
c) √
−2 + 2i
Aufgabe 2 Faktorisieren eines Polynoms im Komplexen (4 Punkte)
Faktorisieren Sie f¨urz∈Cdas Polynom
f(z) = 2z2−z+ 3, (1)
d.h., finden Sie a, b, c∈C, so dass
f(z) =a(z−b)(z−c). (2)
Hinweis: Finden Sie die Nullstellen von f(z).
Aufgabe 3 Trigonometrische Identit¨aten (4 Punkte)
Benutzen Sie die Euler Formel um f¨urx∈R folgende Gleichungen zu zeigen:
1 = cos(x)2+ sin(x)2, (3)
cos(x)2= cos(2x) + sin(x)2, (4)
sin(2x) = 2 cos(x) sin(x). (5)
Hinweis: Aus der Taylorreihe der cos und sin folgt cos(−x) = cos(x) und sin(−x) =−sin(x).
Aufgabe 4 Satz von Schwarz (4 Punkte)
Berechnen Sie
f12≡ ∂2f
∂x1∂x2(0,0), (6)
und
f21≡ ∂2f
∂x2∂x1(0,0) (7)
f¨ur
1
a)
f(x1, x2) = cos(x1+x2) (8) b)
f(x1, x2) = (x3
1x2−x1x32
x21+x22 f¨ur(x1, x2)6= (0,0), 0 f¨ur(x1, x2) = (0,0).
(9)
Warum istf126=f21 im Fall b)?
Aufgabe 5 Reihenentwicklung in zwei Variablen (4 Punkte)
Entwickeln Sie die Funktion
f(x, y) = exp −x2−2y2+ 2xy−x
(10) zur zweiten Ordnung um (x, y) = (0,0), d.h., finden Sieaxx, axy, ayy, bx, by, c∈R, so dass
f(x, y) =axxx2+ayyy2+axyxy+bxx+byy+c+O(x3) +O(y3) +O(x2y) +O(xy2). (11)
2
