q , q(z) = c (z − z 1 ) m1· · · (z − z n ) mn l¨ asst sich eindeutig in der Form

Partialbruchzerlegung

Eine rationale Funktion r mit n verschiedenen Polstellen z j der Ordnung m _j ,

r = p

q , q(z) = c (z − z 1 ) ^m

· · · (z − z n ) ^m

l¨ asst sich eindeutig in der Form

r(z) = f (z ) +

n

X

j=1

r _j (z), r _j (z ) = a _j,1

z − z _j + · · · + a _{j ,m}

(z − z _j ) ^m

, zerlegen. Dabei ist f (z ) = f ₀ + f ₁ z + · · · + f _d z ^d ein Polynom vom Grad d = Grad p − Grad q ( f = 0, falls d < 0 ). Die rationalen Funktionen r j

werden als Hauptteile von r an den Polstellen bezeichnet. Sie beschreiben

jeweils das Wachstum von r(z) f¨ ur z → z _j .

Die Partialbruchzerlegung kann auf verschiedene Weise bestimmt werden.

(i) Koeffizientenvergleich:

Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom q f¨ uhrt ein Vergleich der Koeffizienten der Monome z ^k in der Identit¨ at

p (z) = f (z)q (z ) +

n

X

j =1

r _j (z )q(z)

auf ein quadratisches lineares Gleichungssystem f¨ ur f i und a j,i . (ii) Grenzwertmethode:

F¨ ur einfache Polstellen z j (m j = 1) ist a _{j ,1} = lim

z→z

(z − z _j )r (z ) = p(z j ) c Q

k6=j (z _j − z _k ) .

Falls f 6= 0 (⇔ Grad p ≥ Grad q), erh¨ alt man das Polynom f durch

Subtraktion der bereits bestimmten Hauptteile von der rationalen Funktion r .

2 / 25

Bei Polstellen z j h¨ oherer Ordnung ( m j > 1 ) l¨ asst sich nur der f¨ uhrende Term mit der Grenzwertmethode berechnen:

a _{j ,m}

= lim

z→z

(z − z _j ) ^m

r (z ) = p(z _j ) c Q

k 6=j (z j − z k ) ^m

.

Man kann jedoch die Methode rekursiv anwenden, indem man die jeweils berechneten Terme abzieht.

(iii) Polynomdivision:

Im Fall Grad p ≥ Grad q kann das Polynom f durch Polynomdivision bestimmt werden:

p = fq + g

mit Grad g < Grad q. Zur Bestimmung der Partialbruchzerlegung von g /q = r − f

ist sowohl ein Koeffizientenvergleich als auch die Grenzwertmethode

anwendbar.

(iv) Interpolation:

Gleichungen f¨ ur die zu bestimmenden Koeffizienten f _i und a _{j ,i} k¨ onnen ebenfalls durch Einsetzen von Testwerten z _` gewonnen werden. Diese Methode wird oft mit der Grenzwertmethode bei Polstellen h¨ oherer Ordnung kombiniert.

4 / 25

Beweis

a) Zerlegung f¨ ur den Spezialfall einfacher Polstellen (m _j = 1):

Polynomdivision (r = p/q = f Rest g ) r(z ) − f (z ) = g (z )

q(z) = g (z )

c (z − z ₁ ) · · · (z − z _n ) Polynome g und q teilerfremd, z j verschieden, Grad g < n Lagrange-Form des Polynoms g

g (z) =

n

X

j=1

g (z _j ) Y

k6=j

z − z _k z j − z k

, g (z _j ) = p(z _j ) − f (z _j )q(z _j ) = p(z _j )

Division durch q(z ) = c(z − z 1 ) · · · (z − z n ) r(z) − f (z ) =

n

X

j=1

"

p(z _j ) c Q

k 6=j (z j − z k )

# 1 z − z j

,

d.h. a _j = [. . .] = lim z→z

(z − z _j )r (z)

b) Zerlegung im allgemeinen Fall:

Polynomdivision

r = p/q = f + g /q, Grad g < Grad q

sukzessive Bestimmung der Hauptteile f¨ ur die Polstellen z _j , beginnend mit z ₁

g (z)/q(z ) = g (z )/( ˜ q(z )(z − z 1 ) ^m

) = ⇒ a 1,m

= g (z 1 )/ q ˜ (z 1 ) Subtraktion des entsprechenden Terms h¨ ochster Ordnung des ersten Haupteils

˜

r (z ) = g (z)

q(z ) − a 1,m

(z − z ₁ ) ^m

= g (z) − (g (z ₁ )/ q(z ˜ ₁ )) ˜ q(z )

˜

q(z)(z − z ₁ ) ^m

Z¨ ahlerpolynom null f¨ ur z = z ₁ = ⇒ Darstellung als Produkt

˜

g (z)(z − z ₁ ) und, nach K¨ urzen des Linearfaktors,

˜

r(z) = g ˜ (z )

˜

q(z)(z − z ₁ ) ^m

⁻¹

6 / 25

mit

Grad ˜ g = max(Grad g , Grad ˜ q ) − 1 < Grad q − 1 = Grad ˜ q + (m ₁ − 1) Iteration der Prozedur mit dem jeweils f¨ uhrenden Term zu einer der Polstellen

sukzessive Reduktion der Ordnung der Polstellen durch Bestimmung und Subtraktion aller Terme der Hauptteile

c) Eindeutigkeit:

Annahme

f (z ) +

n

X

j=1 m

X

k=1

a _j,k

(z − z _j ) ^k = ˜ f (z) +

n

X

j =1 m

X

k =1

˜ a _{j ,k} (z − z _j ) ^k Multiplikation mit (z − z 1 ) ^m

und Setzen von z = z 1

= ⇒ a _1,m

= ˜ a _1,m

Weglassen der entsprechenden identischen Terme auf beiden Seiten

Iteration der Prozedur bis die Gleichheit aller Koeffizienten a _j,k gezeigt ist

und dann ebenfalls f = ˜ f gefolgert werden kann

Beispiel

Partialbruchzerlegung von

r(z) = p(z)

q(z) = z ³ z ² + z − 2 (i) Polynomialer Anteil (Z¨ ahlergrad ≥ Nennergrad):

Polynomdivision

( z ³ ) : (z ² + z −2) = z − 1 + 3z − 2 z ² + z − 2

−( z ³ +z ² − 2z )

−z ² + 2z

−( −z ² − z +2) 3z −2 und somit r = f + g /q mit

f (z ) = z − 1, g (z ) = 3z − 2

8 / 25

(ii) Polstellen und Ansatz:

L¨ osungsformel f¨ ur die quadratische Gleichung q(z) = z ² + z − 2 = 0 Polstellen z ₁ = 1 und z ₂ = −2 und

q(z ) = (z − 1)(z + 2) Ansatz f¨ ur die Partialbruchzerlegung

g (z )

q(z ) = 3z − 2

(z − 1)(z + 2) = a 1

z − 1 + a 2

z + 2 (iii) Bestimmung der Koeffizienten a _k :

Grenzwertmethode a ₁ = lim

z→1 (z − 1) 3z − 2

(z − 1)(z + 2) = 3z − 2 z + 2

_z=1

= 1 3 analog

a 2 = 3z − 2 z − 1

z=−2

= 8 3 insgesamt

r(z ) = f (z) + g (z )

q(z) = (z − 1) + 1/3

z − 1 + 8/3 z + 2

Beispiel

Partialbruchzerlegung von

r(z ) = 5z ² − 5z + 6 z ³ − 3z ²

einfache Polstelle bei z ₁ = 3, doppelte Polstelle bei z ₂ = 0

Z¨ ahlergrad < Nennergrad = ⇒ keine Polynomdivision notwendig Ansatz f¨ ur die Partialbruchzerlegung:

r(z ) = 5z ² − 5z + 6

z ³ − 3z ² = 5z ² − 5z + 6 z ² (z − 3) = a 1

z ² + a 2

z + a 3

z − 3 Grenzwertmethode

a ₁ = lim

z→0 z ² r(z ) = 5z ² − 5z + 6 z − 3

z=0

= −2 a 3 = lim

z→3 (z − 3)r(z ) = 5z ² − 5z + 6 z ²

z=3

= 4

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Vergleich der Funktionswerte an einem Punkt z 6= 0 ∧ z 6= 3, z.B. z = 1 r(1) = 5z ² − 5z + 6

z ³ − 3z ² z=1

= !

− 2 z ² + a ₂

z + 4 z − 3

z=1

,

bzw. 5 − 5 + 6

1 − 3 = −2 + a ₂ − 2 d.h. a 2 = 1 und

r(z ) = − 2 z ² + 1

z + 4

z − 3

Beispiel

Partialbruchzerlegung von

r(z) = z ² − 5z + 4 z ³ − 3z ² + z + 5 (i) Polstellen und Ansatz:

reelle Polstelle z ₁ = −1 Polynomdivision

(z ³ − 3z ² + z + 5) : (z + 1) = z ² − 4z + 5

L¨ osungsformel f¨ ur die quadratische Gleichung q(z) = z ² − 4z + 5 = 0 komplex konjugierte Polstellen

z 2,3 = 2 ± p

2 ² − 5 = 2 ± i Faktorisierung des Nennerpolynoms

q(z ) = (z + 1)(z − 2 − i)(z − 2 + i)

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Ansatz

r(z ) = p(z ) q(z ) = a

z + 1 + b

z − 2 − i + c z − 2 + i (ii) Koeffizientenvergleich:

Multiplikation mit dem Hauptnenner z ² − 5z + 4 =

a(z − 2 − i)(z − 2 + i) + b(z + 1)(z − 2 + i) + c (z + 1)(z − 2 − i) Vergleich der Koeffizienten von 1, z , z ² lineares Gleichungssystem f¨ ur a, b und c :

4 = (−2 − i)(−2 + i)a + (1)(−2 + i)b + (1)(−2 − i)c

= 5a + (−2 + i)b + (−2 − i)c

−5 = −4a + (−1 + i)b + (−1 − i)c 1 = a + b + c

L¨ osung: a = 1, b = i/2 und c = −i/2

(r reell = ⇒ c = ¯ b, d.h. nur b muss berechnet werden, bzw. man

kann die Identit¨ at zur Kontrolle nutzen)

Einsetzen der Koeffizienten in den Ansatz komplexe Partialbruchzerlegung

r(z ) = 1

z + 1 + i/2

z − 2 − i + −i/2 z − 2 + i Zusammenfassen der komplex konjugierten Terme

reelle Partialbruchzerlegung r (z) = 1

z + 1 + (i/2)(z − 2 + i) − (i/2)(z − 2 − i) (z − 2 + i)(z − 2 − i)

= 1

z + 1 − 1

z ² − 4z + 5

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Reelle Partialbruchzerlegung

Eine reelle rationale Funktion r mit reellen Polstellen x j und komplex konjugierten Polstellen u _k ± iv _k der Vielfachheit m _j bzw. n _k ,

r = p

q , q(x) = c Y

j

(x − x _j ) ^m

Y

k

((x − u _k ) ² + v _k ² ) ⁿ

,

l¨ asst sich in der Form r(x) = f (x) + X

j m

X

ν=1

a _j,ν

(x − x j ) ^ν + X

k n

X

µ=1

b _k,µ (x − u _k ) + c _k,µ

((x − u _k ) ² + v _k ² ) ^µ

zerlegen, mit einem Polynom f vom Grad d = Grad p − Grad q (f = 0,

falls d < 0). Die Zahl der Summanden f¨ ur x _j bzw. u _k ± iv _k ist jeweils

gleich der Ordnung der entsprechenden Polstelle.

Insbesondere gilt f¨ ur einfache Polstellen r(x) = f (x) + X

j

a j

x − x _j + X

k

b _k (x − u _k ) + c _k (x − u k ) ² + v _k ² . Das Polynom f kann durch Polynomdivision bestimmt werden

p = fq + g , Grad g < Grad q ,

d.h. g ist der Rest bei Division von p durch q. Die Koeffizienten lassen sich dann durch Koeffizientenvergleich in der Darstellung von r − f = g/q nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom berechnen. Alternativ kann man ohne Bestimmung von f auch unmittelbar einen

Koeffizientenvergleich in der Identi¨ at p(x) = f (x)q(x) +



 X

j

. . . + X

k

. . .



 q(x)

durchf¨ uhren.

Die reelle Partialbruchzerlegung l¨ asst sich ebenfalls aus der komplexen Form gewinnen, indem man komplex konjugierte Terme zusammenfasst.

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Beweis

Zerlegung f¨ ur einfache Polstellen (m _j = n _k = 1):

komplexe Partialbruchzerlegung r(x) = p (x)

q (x) = f (x) + X

j

a j

x − z _j

mit z _j den (einfachen) Nullstellen des Nennerpolynoms q und a _j = lim

z→z

(z − z _j )r(z )

q reell reelle oder Paare komplex konjugierter Nullstellen

z _k = u + iv, z _` = u − iv = z _k

Koeffizienten der entsprechenden Terme der Zerlegung a _k = lim

z→z

(z − z _k )r (z ) = lim

z→z

(z − z _{`</sub> )r (z ) = a <sub>`} d.h.

a _k = s + it, a _` = s − it Zusammenfassen der komplex konjugierten Terme

s + it

x − u − iv + s − it

x − u + iv = 2s (x − u) − 2tv (x − u) ² + v ² d.h.

b = 2s, c = −2t

analoge (technisch aufw¨ andigere) Argumentation f¨ ur Polstellen h¨ oherer Ordnung

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Beispiel

Reelle Partialbruchzerlegung von r(x) = p(x)

q(x) = 2x ³ − 9x ² + 11x + 1 x ³ − 4x ² + 5x (i) Polynomdivision: (Grad p ≥ Grad q):

(2x ³ −9x ² +11x +1) : (x ³ − 4x ² + 5x) = 2, Rest g (x) = −x ² + x + 1

−(2x ³ −8x ² +10x)

−x ² +x +1

polynomialer Anteil f (x ) = 2 und Zerlegung r (x) = f (x) + g (x)

q(x) = 2 + −x ² + x + 1

x ³ − 4x ² + 5x

(ii) Faktorisierung des Nennerpolynoms and Ansatz:

Polstelle x 1 = 0

weitere Polstellen durch quadratische Erg¨ anzung

q(x)/x = x ² − 4x + 5 = (x − 2) ² + 1 ²

x 2,3 = u ± iv = 2 ± i und entsprechende Faktorisierung des Nennerpolynoms

x ³ − 4x ² + 5x = (x − x 1 )(x − x 2 )(x − x − 3)

= x (x − 2 + i)(x − 2 − i) = x((x − 2) ² + 1) Ansatz

g (x)

q(x) = −x ² + x + 1 x((x − 2) ² + 1 ² ) = a

x + b(x − 2) + c (x − 2) ² + 1 ²

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(iii) Koeffizientenvergleich:

Multiplikation mit dem Nennerpolynom q im Ansatz

−x ² + x + 1 = a((x − 2) ² + 1 ² ) + b(x − 2)x + cx Vergleich der Koeffizienten von 1, x und x ² lineares Gleichungssystem

1 = 5a

1 = −4a − 2b + c

−1 = a + b mit der L¨ osung

a = 1

5 , b = − 6

5 , c = − 3 5 resultierende reelle Partialbruchzerlegung

r(x) = f (x) + p(x) q(x) = 2 +

1/5

x + −6/5(x − 2) + (−3/5) (x − 2) ² + 1 ²

Alternative Methode

Bestimmung der Ansatzparameter f¨ ur den rationalen Anteil mit der Grenzwertmethode

Multiplikation von g (x)/q(x) mit x und Setzen von x = 0 1

2 ² + 1 ² = a + 0 = ⇒ a = 1 5 Setzen von x = 2

−2 ² + 2 + 1 2(0 ² + 1 ² ) = 1/5

2 + c

0 ² + 1 ² = ⇒ c = − 3 5 Bestimmung von b durch Testen eines Punktes x 6= 2, z.B. x = 1

−1 ² + 1 + 1

1 · ((1 − 2) ² + 1 ² ) = 1/5

1 + b(1 − 2) + (−3/5)

(1 − 2) ² + 1 ² = ⇒ b = −6/5

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Beispiel

reelle Partialbruchzerlegung von r (x) = p(x)

q(x) = x ³ x ⁴ + 2x ² + 1 (i) Polstellen und Ansatz:

q(x) = (x ² + 1) ²

= ⇒ doppelte Polstellen ±i, d.h. u = 0 und v = 1 Ansatz

x ³

(x ² + 1) ² = b ₁ x + c ₁

x ² + 1 + b ₂ x + c ₂

(x ² + 1) ²

(ii) Bestimmung der Koeffizienten:

Multiplikation des Ansatzes mit q

x ³ = (b 1 x + c 1 )(x ² + 1) + b 2 x + c 2

= b ₁ x ³ + c ₁ x ² + (b ₁ + b ₂ )x + (c ₁ + c ₂ ) Vergleich der Koeffizienten von 1, x, x ² und x ³ lineares Gleichungssystem

1 = b ₁ 0 = c ₁ 0 = b 1 + b 2

0 = c 1 + c 2

mit der L¨ osung

b ₁ = 1, c ₁ = 0, b ₂ = −1, c ₂ = 0

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Alternative Methode

Verwendung der komplexen Partialbruchzerlegung:

Ansatz

z ³

(z − i) ² (z + i) ² = a

z − i + b

(z − i) ² + c

z + i + d (z + i) ² Grenzwertmethode

b = lim

z→i (z − i) ² r(z ) = i ³

(i + i) ² = i 4 d = b = −i/4 ein Term der Zerlegung

i/4

(z − i) ² − i/4

(z + i) ² = −z (z ² + 1) ² zweiter Term

r(z ) − −z

(z ² + 1) ² = z

z ² + 1