Musterlosung
Ubungsblatt 1 26.10.04
1 a)
Gradient: r'(r) fur:
'(r) =xsin(yz) : r' = 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
x sin(yz)= 0
B
B
sin(yz)
xos (yz)z
xos(yz)y 1
C
C
A
'(r) =ar : r'= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 2
6
6
4 0
B
B
a
x
a
y
a
z 1
C
C
A 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 3
7
7
5
= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A [a
x x+a
y y+a
z z℄=
0
B
B
a
x
a
y
a
z 1
C
C
A
=a
'(r) =f(r) : r'= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
f(r)= 0
B
B
x f(r)
y f(r)
z f(r)
1
C
C
A
;
x
f(r)= df(r)
dr (
x r) ;
x r=
x q
x 2
+y 2
+z 2
= x
p
:::
= x
r
) rf(r)= df(r)
dr r
r
b)
Divergenz: rA(r) fur:
A(r)=r : r(r)= rr= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
= [1+1+1℄=3
A(r)=ar : r(ar)= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 0
B
B
a
x r
a
y r
a
z r
1
C
C
A
=a
x x
r +a
y y
r +a
z z
r
= 1
r (ar)
A(r)=ar : r(ar)= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 2
6
6
4 0
B
B
a
x
a
y
a
z 1
C
C
A
0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 3
7
7
5
= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 0
B
B
a
y z a
z y
a
z x a
x z
a
x y a
y x
1
C
C
A
=0+0+0=0
)
Rotation: rA(r) fur:
A(r)=(y; x;0) : rA= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
0
B
B
y
x
0 1
C
C
A
= 0
B
B
z x
z y
x
x
y y
1
C
C
A
= 0
B
B
0
0
2 1
C
C
A
A(r)=ar : r(ar)= 0
B
B
x
y
1
C
C
A
0
B
B
a
y z a
z y
a
z x a
x z
a y a x 1
C
C
A
= 0
B
B
a
x
( a
x )
a
y
( a
y )
a ( a ) 1
C
C
A
=2a
A(r)=f(r)r : r(f(r)r)= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
0
B
B
fx
fy
fz 1
C
C
A
= 0
B
B
(
y
f)z (
z f)y
(
z
f)x (
x f)z
(
x
f)y (
y f)x
1
C
C
A
= f
0
(r)
r 0
B
B
yz zy
zx xz
xy yx 1
C
C
A
= 0
B
B
0
0
0 1
C
C
A
d)
r(r')= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
0
B
B
x '
y '
z '
1
C
C
A
= 0
B
B
y
z
'
z
y '
z
x
'
x
z '
x
y
'
y
x '
1
C
C
A
= 0
B
B
0
0
0 1
C
C
A
falls diegemishten 2. Ableitungen vertaushen: z.B.:
x
y '
2
'
xy
=
2
'
yx
r(rA) = 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 0
B
B
y A
z
z A
y
z A
x
x A
z
x A
y
y A
x 1
C
C
A
=
x
y A
z
x
z A
y +
y
z A
x
y
x A
z +
z
x A
y
z
y A
x
=0
falls diegemishten 2. Ableitungen vertaushen.
r(r')= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A 0
B
B
x '
y '
z '
1
C
C
A
= 2
x '+
2
y '+
2
z
''
2 a)
1
Z
1
Æ(x)dx=lim
"!0 1
Z
1 Æ
"
(x)dx=lim
"!0 1
p
"
1
Z
1 e
x 2
="
2
dx=lim
"!0 1
p
"
h
p
"
i
| {z }
Bronstein
=lim
"!0 1=1
Dies ist nurein Spezialfallder eigentlihen Denition der \Æ-Funktion":
1
Z
1
f(x)Æ(x a)dx=lim
"!0 1
Z
1
f(x+a)Æ
"
(x)dx=lim
"!0 f(
"
+a) 1
Z
1 Æ
"
(x)dx=lim
"!0 f(
"
+a)=f(a)
Hier wurde der sog. \2.Mittelwertsatz der Integralrehnung" angewendet:der Punkt
"
ist niht
genau bekannt und hangt von " ab. Aber es ist klar, da
"
ungefahr im Intervall " <
"
< "
liegen mu, alsofur "!0auh
"
!0 geht.
b)
1
Z
0 e
x
Æ(x y)dx= 8
>
>
<
>
>
: e
y
fur y0
0 fur y<0 9
>
>
=
>
>
;
=e y
(y)
3 a)
Parametrisierendes Weges:
r(t)=r
a +(r
b r
a
)t=bt ; 0t1 ; dr=r(t)_ dt=bdt
und einsetzen:
W = Z
1
0
F(r(t))bdt= Z
1
0 dt
0
B
B
x
z 2
=2
yz 1
C
C
A 0
B
B
b
x
b
y
b
z 1
C
C
A
= Z
1
0 dt
0
B
B
b
x t
b 2
z t
2
=2
b
y b
z t
2 1
C
C
A 0
B
B
b
x
b
y
b
z 1
C
C
A
= Z
1
0 dt[b
2
x t+
1
2 b
y b
2
z t
2
+b
y b
2
z t
2
℄= 1
2 [b
2
x +b
y b
2
z
℄
b)
Hat Fein Potential?
rF= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
0
B
B
x
z 2
=2
yz 1
C
C
A
= 0
B
B
z z
0
0 1
C
C
A
=0
also ja. Es existiert also ein '(r) mit F = r'. Da die Arbeit nun wegunabhangig ist, ist das
Potential gegeben durh
'(r) = W(b;a)j
b=r
+onst:= 1
2 [x
2
+yz 2
℄+onst:
Test durhEinsetzen:
r'(r) = 1
2 0
B
B
2x
z 2
2yz 1
C
C
A
=F(r)
4 a)
Zylinder: d 3
r=dd'dz Kugel: d 3
r=r 2
dr sin()dd'
Volumendes Zylinders:
Zylinderkoord.: V = Z
h
0 dz
Z
R
0 d
Z
2
0
d' =2h R
2
2
=R 2
h
Kartes. Koord.: V = Z
h
0 dz
Z
R
R dx
Z
y
0
y
0
dy ; y
0
= p
R 2
x 2
= h Z
R
R (2y
0
)dx=4h Z
R
0 p
R 2
x 2
dx
= 4h 1
2 [x
p
R 2
x 2
+R 2
arsin(x=R )℄
x=R
x=0
| {z }
Bronstein
=2hR 2
arsin(1)=R 2
h
b)
Kugelkoord.:
Q= Z
1
0 r
2
dr Z
0
sin()d Z
2
0
d'(r)=4 Z
1
0 r
2
(r)dr=4aR 6
Z
1
0 r
2
dr
R 6
+r 6
Substitution: u=r 3
; du=3r 2
dr,
Q=4aR 6
1 Z
1
du
6 2
= 2
2
aR 3
