Bestimmen Sie den Abstand der Hyperbel H :={(x, y)∈R2 :x2−y2 = 1} zur Geraden G:={(u, v)∈R2 :v = 2u}

Mathematisches Institut SoSe 2020

der Heinrich-Heine Universit¨at 01.07.2020

D¨usseldorf Blatt 11

Apl. Prof. Dr. Axel Gr¨unrock

UBUNGEN ZUR ANALYSIS II¨

41. Zu bestimmen ist das maximale Volumen eines n-dimensionalen achsenparallelen Quaders, der dem Ellipsoid

E :={x∈Rⁿ :

n

X

i=1

x²_i a²_i ≤1}

mit den Halbachsen a_i > 0,1 ≤ i ≤ n, einbeschrieben ist (d.h., dass die Ecken des Quaders auf dem Rand des Ellipsoids liegen).

42. Es sei C ⊂R³ der Durchschnitt des Kegelmantels M_K ={x∈R³ :x²₁+x²₂ =x²₃} mit der Mantelfl¨ache

M_Z ={x∈R³ :x²₁+x₁x₂+x²₂ = 1}

eines elliptischen Zylinders. Berechnen Sie den Abstand vonC zum Nullpunkt.

43. Bestimmen Sie den Abstand der Hyperbel

H :={(x, y)∈R² :x²−y² = 1}

zur Geraden

G:={(u, v)∈R² :v = 2u}.

Z. (Bei dieser Zusatzaufgabe k¨onnen bis zu 4 Bonuspunkte erreicht werden.) Es seien Ω := (0,∞)ⁿ, p >0 und

P : Ω→R, x7→P(x) :=

n

Y

i=1

x_i.

Bestimmen Sie das Maximum von P unter der Nebenbedingung

n

X

i=1

x^p_i = 1. Folgern Sie aus Ihrem Ergebnis die UngleichungYⁿ

i=1

x_in¹

≤1 n

n

X

i=1

x^p_i¹_p

zwischen dem geometrischen Mittel und dem Potenzmittelwert zum Exponentenp.

Bitte wenden!

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44. L¨osen Sie die folgenden Anfangswertprobleme durch Separation:

(a) y⁰ = y

xln (y), y(2) = 16,

(b) y⁰ = (y−x)², y(0) = 2.

Hinweis: Substituieren Sie in Teil (b) z =y−x.

Abgabe: elektronisch bis Mi., 08.07., 15.00 Uhr