Aufgabe VII.2 (5 Punkte) Seienf :R2 →R,f(x, y) =x2−xy, v= (v1, v2)∈R2mit|v|= 1 unda= (x0, y0)∈R2

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt VII vom 23. November 2012

Abgabe bis Freitag, 30.11.12, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128)

Aufgabe VII.1 (5 Punkte)

F¨ur eine Zahlc∈Rsei die Funktion f :R² →R definiert durch

f(x, y) =

(ye^x, fallsx >0 c, fallsx≤0.

Existiert einc∈Rderart, dassf auf ganz R² stetig ist?

Anleitung: Bestimmen Sie zun¨achst c ∈ R derart, dass f im Punkt (0,0) stetig ist.

Untersuchen Sie anschließend die Stetigkeit von f (mit der soeben bestimmten Zahl c) in einem beliebigen Punkt (0, y₀) mit y₀6= 0.

Aufgabe VII.2 (5 Punkte)

Seienf :R² →R,f(x, y) =x²−xy, v= (v₁, v₂)∈R²mit|v|= 1 unda= (x₀, y₀)∈R². a) Berechnen Sie ∂vf(a) ¨uber die Definition der Vorlesung, d.h.

∂vf(a) = lim

t→0

f(x0+tv1, y0+tv2)−f(x0, y0)

t .

b) Berechnen Sie ∂_vf(a) konkret f¨ur alle m¨oglichen Kombinationen der folgenden Punktea∈R² und Richtungsvektoren v∈R²:

a₁ = (1,0), a₂ = (−1,2), v₁= (0,1), v₂= (^√1

2,^√1

2).

Aufgabe VII.3 (5 Punkte)

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen∂1f(x, y) und∂2f(x, y) der folgenden Funktio- nen.

a) f :R² →R, f(x, y) =x³−2x²y²+ 4xy³+y⁴+ 10 b) f :R² →R, f(x, y) = (x²+y²)e^xy

c) f :R×(R\ {0})→R, f(x, y) = 2e^x y

d) f : (0,∞)×(R\ {0})→R, f(x, y) = ln(xy²) e) f :R²\ {(0,0)} →R, f(x, y) = x²

x⁴+y²

Aufgabe VII.4 (5 Punkte)

Berechnen Sie die Richtungsableitungen der folgenden Funktionen f : R² → R an den angegebenen Stellen in den angegebenen Richtungen v. Verwenden Sie hierbei die For- mel¹

∂_vf(a) =h∇f(a), vi,

wobei∇f(a) = (∂₁f(a), ∂₂f(a)) den sog.Gradienten vonf im Punkta∈R² bezeichnet.

a) f(x, y) =x²+y²

i) (x, y) = (1,1),v= (^√1

2,^√1

2) ii) (x, y) = (0,2),v= (¹₂,

√3 2 ) b) f(x, y) =x²+ 5e^2xy

i) (x, y) = (1,1),v= (0,1) ii) (x, y) = (0,2), v= (−^√1

2,^√1

2)

1Die angegebene Formel wird in einer der n¨achsten Vorlesungen vorgestellt.

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