Aufgabe VI.3 Seif :R2 →Rdefiniert durch f(x, y

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 2 Blatt VI vom 14.05.15

Aufgabe VI.1

Seien f ∈ C¹(R^d) und x₀ ∈ R^d. Beweisen Sie, dass ∇f(x₀) die Richtung des steilsten Anstiegs vonf im Punktx₀ angibt.

Aufgabe VI.2

Seien f, g ∈C¹(R^d,R^d) mit (f◦g)(x) =x für x ∈R^d. Zeigen Sie, dass die Funktional- matrix Df(g(x))invertierbar ist mit

(Df(g(x)))⁻¹ =Dg(x), x∈R^d.

Aufgabe VI.3

Seif :R² →Rdefiniert durch

f(x, y) = (2 + cos(x)) cos(y).

Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktionf.

Aufgabe VI.4

Seif :R³ →R² definiert durch

f(x, y, z) =

x²−y−z xysin(z)

.

Berechnen Sie für f das Taylor-Polynom dritten Grades im Punkt x0 = (0,0,0).