Aufgabe V.3 Seienf, g :R2 →Rdefiniert durch f(x, y

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 2 Blatt V vom 07.05.15

Aufgabe V.1

SeienU ⊂R² offen undf ∈C(U) derart, dass ∂₁∂₂f aufU existiert.

Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass∂₁f nicht existieren muss.

Aufgabe V.2

a) Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion f:R² →R, x7→x²₁+x²₂,

an der Stelleξ = (1,1)in Richtungv= √1

2,^√1

2

. Bestimmen Sie auch die Richtung des steilsten Anstiegs im Punktξ.

b) Bestimmen Sie die Menge aller Funktionen f:R³ →R, für die∇f(x) =x gilt.

Aufgabe V.3

Seienf, g :R² →Rdefiniert durch

f(x, y) = (

√3

xy, fallsxy ≥0,

−√³

−xy, fallsxy <0, g(x, y) = cos(f(x, y)).

Untersuchen Sie die Funktionen auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt.

Aufgabe V.4

Seif : (0,∞)×R^d→Rdefiniert durch

f(t, x) =t^−d/2exp

−kxk² 4t

.

Zeigen Sie, dass f eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung

∂tf(t, x)−∆xf(t, x) = 0

ist, wobei∆xf(t, x) =∂_x²₁f(t, x) +· · ·+∂_x²_df(t, x).