Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Analysis 1 Blatt X vom 18.12.14
Aufgabe X.1
Zeigen Sie mit dem ε-δ-Kriterium, dass die Funktion f :R→R,f(x) =x3 stetig ist.
Aufgabe X.2
Seia∈Rund seif :R→Rdefiniert durch
f(x) = (x2−4
x−2, fallsx6= 2 a, fallsx= 2.
Zeigen Sie, dass es genau eina∈Rgibt, sodassf im Punktx0= 2 stetig ist.
Aufgabe X.3
Seif : [0,1]→[0,1]eine stetige Funktion. Zeigen Sie das f einen Fixpunkt besitzt, d.h.
es existiert einx∈[0,1]mitf(x) =x.
Aufgabe X.4
Seif : (−∞,0)∪[1,∞)→Rdefiniert durch
f(x) =
(x, fallsx∈(−∞,0) x−1, fallsx∈[1,∞).
Zeigen Sie, dass die Funktionf in dem Punktx0 = 1stetig ist, die Umkehrfunktionf−1 aber in dem Punkty0 =f(1)nicht stetig ist.
Warum findet Proposition III.7 aus der Vorlesung hier keine Anwendung?
