Aufgabe VI.3 Die Funktionf:R2 →R sei definiert durch f(x, y

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zu Speziel le Aspekte der Analysis Blatt VI vom 16. November 2012

Aufgabe VI.1

Entscheiden Sie, ob die in den folgenden Aufgabenteilen definierten MengenM

• offen

• abgeschlossen

• weder offen noch abgeschlossen sind. Beweisen Sie Ihre Behauptungen.

a) M =B1(0)∪Br(x0)⊂R², wobeir >0 undx0∈R².

b) M =A₁ ∩ A₂ ⊂R³, wobeiA₁ undA₂ abgeschlossene Teilmengen desR³ bezeich- nen.

c) M = [−1,1]×[−1,1]⊂R². Aufgabe VI.2

Die Folge (an)_n∈N inR² sei definiert durch

a_n= 5n²+ 2n+ 1

2

3n²+ 3 , 1 n+ 1

! .

Bestimmen Sie den Grenzwerta∈R² der Folge (a_n)_n∈N. Aufgabe VI.3

Die Funktionf:R² →R sei definiert durch

f(x, y) =







√xy

x²+y², falls (x, y)6= (0,0), 0, falls (x, y) = (0,0).

Beweisen Sie, dass f stetig im Punkt (0,0)∈R² ist.