Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Pr¨asenzaufgaben zu Speziel le Aspekte der Analysis Blatt IV vom 02. November 2012
Aufgabe IV.1
Vorgelegt sind die Matrizen A= 1 2
3 4
!
, B = 2 3 4 3 4 5
!
, C=
1 2 3 3 1 2 2 1 3
.
a) Berechnen Sie f¨ur alle zul¨assigen Kombinationen vonN, M ∈ {A, B, C}das jewei- lige Produkt N·M.
b) Berechnen Sie die Inverse C−1 von C.
c) Berechnen Sie mit Hilfe von b) die L¨osung xdes linearen Gleichungssystems C·x=
1 2 3
.
Aufgabe IV.2
Die Entwicklung der weiblichen Mitglieder einer Fischpopulation wird durch folgendes Modell beschrieben: Der Spaltenvektor p(n) = jn
an
!
, n∈ N0, gibt die Altersverteilung der Population im Jahrnan. Hierbei bezeichnet jndie Anzahl der weiblichen Jungtiere (j¨unger als 1 Jahr) undandie Anzahl der weiblichen adulten Tiere (¨alter als 1 Jahr) im Jahrn. Der ¨Ubergang der Altersverteilung vom Jahrnins Jahrn+ 1 wird beschrieben durch:
p(n+ 1) = 0 10 0,5 0,5
!
·p(n). (1)
a) Interpretieren Sie die Eintr¨age der Matrix aus (1), indem Sie in Worten wiederge- ben, wie sichan+1 bzw.jn+1 ausan und jn ergeben.
b) Die Anfangswerte der Population seien durch j0 = 0 und a0 = 10 gegeben. Be- stimmen Sie p(1), p(2) undp(3).
Aufgabe IV.3
Berechnen Sie jeweils die Determinante der folgenden Matrizen
A= 2 3
−4 2
!
, B=
2 3 −4
−4 −6 8
1 −1 1
, C=
1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
.
