Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt IV vom 02. November 2012
Abgabe bis Freitag, 09.11.12, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128) Aufgabe IV.1 (5 Punkte)
Gegeben sind die folgenden Matrizen A=
2 0
−5 2
, B=
−3 4 4 10
, C=
1 4 2 6 3 5
,
D=
0 2 3 7 1 3
, E=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
a) F¨ur welche MatrizenN, M ∈ {A, B, C, D, E}kann man das ProduktN·M bilden?
Stellen Sie dazu eine geeignete Tabelle auf, die die Reihenfolge der Multiplikation ber¨ucksichtigt. Die Produkte sollen nicht explizit berechnet werden.
b) Berechnen Sie B·C und C·D.
c) Berechnen Sie B−1.
d) Berechnen Sie mit Hilfe von c) die L¨osungen der beiden linearen Gleichungssysteme B·x=
1 1
und B·x= 5
8
.
Aufgabe IV.2 (5 Punkte)
Die Steel AG aus Braunschweig stellt Stahl her. Unter anderem wird dazu Eisenerz und Steinkohle ben¨otigt. Der Bedarf dieser Mengen (in Tonnen) innerhalb von 3 Wochen ist der folgenden Tabelle zu entnehmen:
Woche Eisenerz Steinkohle
1. Woche 9t 8t
2. Woche 5t 7t
3. Woche 6t 4t
Drei verschiedene Lieferanten k¨onnen die Rohstoffe liefern. Die Kosten der Lieferanten pro Tonne (in Euro) sind wie folgt:
Rohstoff Ruhr AG Eisenerz AG Steinkohle und co.
Eisenerz 540 630 530
Steinkohle 420 410 440
Welches Angebot sollte die Steel AG w¨ahlen?
Beantworten Sie diese Frage, indem Sie zun¨achst ein geeignetes Matrixprodukt betrach- ten.
Aufgabe IV.3 (5 Punkte)
In einer deutschen Universit¨atsstadt gehen 5000 Studierende an jedem Wochenende in eine der beiden Diskotheken MONO und STEREO. Von den MONO-Besuchern w¨ahlen 30% am n¨achsten Wochenende das STEREO, der Rest kommt wieder. Bei den STEREO- Besuchern wechseln zum n¨achsten Wochenende 40% zu MONO, die anderen kommen wieder.
a) Geben Sie die ¨UbergangsmatrixA f¨ur eine Woche an. Bestimmen Sie eine Gleich- gewichtsverteilung, d.h. einen Vektor x∈R2 mitA·x=x.
b) Wie lautet die ¨Ubergangsmatrix f¨ur vier Wochen?
Aufgabe IV.4 (5 Punkte)
Berechnen Sie jeweils die Determinante der folgenden Matrizen
A=
2 3 4 5 6 7 8 9 1
, B=
3 −4
−4 1
, C =
1 0 2 1
0 1 −1 0
0 4 0 4
2 −3 −5 1
.
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