Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Pr¨asenzaufgaben zu Speziel le Aspekte der Analysis Blatt VIII vom 30. November 2012
Aufgabe VIII.1
Vorgegeben sind eine Funktion f:R2 →Rund (x0, y0)∈R2. Bringen Sie die folgenden Eigenschaften der Funktionfin einen Zusammenhang und deuten Sie in einem Schaubild an, welche Implikationen g¨ultig sind.
• f ist stetig im Punkt (x0, y0).
• f ist (total) differenzierbar in (x0, y0).
• Die partiellen Ableitungen ∂1f(x0, y0) und ∂2f(x0, y0) existieren.
• Die partiellen Ableitungen ∂1f(x0, y0) und ∂2f(x0, y0) existieren in einer Umge- bung von (x0, y0) und sind stetig im Punkt (x0, y0).
• F¨ur jede Richtungv∈R2\ {0},|v|= 1, existiert ∂vf(x0, y0).
Aufgabe VIII.2
SeiM =(x, y, z)∈R3 |z6= 0 . Die Funktion f:M →R sei definiert durch
f(x, y, z) = xey z .
Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f.
Aufgabe VIII.3
Berechnen Sie durch Linearisierung der Funktionf: (0,∞)×(0,∞)→R,f(x, y) =xy, eine N¨aherung f¨ur 1.11.2. Vergleichen Sie mit dem auf 6 Nachkommastellen gerundeten Wert 1.121169.
