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Aufgabe 13. Bestimmen Sie das Volumen des Parallelepipeds gegeben durch 0 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ y + z ≤ 5, 0 ≤ x + y + z ≤ 10.

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Academic year: 2021

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Aufgabe 13. Bestimmen Sie das Volumen des Parallelepipeds gegeben durch 0 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ y + z ≤ 5, 0 ≤ x + y + z ≤ 10.

Es seien V das gesuchte Volumen und U das Integrationsgebiet. Dann gilt V =

Z

U

dxdydz.

Es bietet sich an, folgende Koordinatentransformation durchzuf¨ uhren:

u := x + y + z, v := y + z, w := z.

F¨ ur das

” neue“ Integrationsgebiet U 0 gilt

0 ≤ u ≤ 10, 0 ≤ v ≤ 5, 0 ≤ w ≤ 2.

Durch die obige Koordinatentransformation wird offenbar ein Diffeomorphismus Φ : U → U 0

vermittelt. Mit dem Transformationssatz gilt Z

U

dxdydz = Z

U

0

| det(Φ 0 (u, v, w))|dudvdw.

Es gilt

Φ 0 (u, v, w) =

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂v

∂x

∂v

∂y

∂v

∂z

∂w

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

 =

1 1 1 0 1 1 0 0 1

und damit det(Φ 0 (u, v, w)) = 1. Insgesamt erhalten wir V =

Z

U

0

| det(Φ 0 (u, v, w))|dudvdw = Z 2

0

Z 5 0

Z 10 0

dudvdw = 10 · 5 · 2 = 100.

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