Philipp – Melanchthon - Gymnasium Bautzen Lk Mathematik Kl. 12
Übungsblatt Klausur II
Klausur 2 201 9
Übungsblatt Thema: Klausurübung Teil A Klausur 2
Hinweise zur Bearbeitung:
Taschenrechner und Tafelwerk sind nicht zugelassen. Mehrfachantworten bei MC-Aufgaben sind möglich. Die maximale Arbeitszeit für den Teil A beträgt 45 Minuten.
1
a) Geben Sie die Koordinatengleichung der Ebene, deren Ausschnitt dargestellt ist.
_________________________________________
b) Zeichnen Sie einen Ausschnitt der Ebene x + 2y = 4 in die Abbildung.
2 Gegeben ist die Gerade g mit
Welches Intervall beschreibt die Strecke mit A(1|1|7) und B(1|-1|13)?
t 0 1 < t < 3
Für Aufgabe 1 und 2 erreichbare BE-Anzahl: 4 3 Gegeben sind die Punkte A(-1|3|5), B(2|5|5), C(4|3|2) und D(10|-6|12).
a) Zeigen Sie, dass diese Punkte die Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide bilden.
b) Bestimmen Sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide.
Erreichbare BE – Anzahl: 6 4 Die Ebene E ist gegeben durch die Punkte A(3|3|4), B(4|3|4) und C(5|0|6).
a) Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von der Ebene E.
b) Beschreiben Sie in Stichworten, wie der Abstand eines Punkte P von der Ebene E bestimmt wird.
Gegeben ist die Ebene H mit .
c) Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Ebenen E und H parallel sind.
Erreichbare BE – Anzahl: 6 5 Der Punkt P(3|4|-2) wird an der Ebene gespiegelt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes von P.
Erreichbare BE – Anzahl: 4 g : x!
= 1 2 4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟+t⋅ 0
−1 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟
(
t∈!)
AB
³ 1£t£3 0£t£2 t£3
H :4⋅y+c⋅z=24
E :2⋅x−y+z=6
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Übungsblatt Klausur II
Klausur 2 201 9
Übungsblatt Thema: Klausurübung Teil B Klausur 2
1 Der Turm einer Burg hat die Form eines Würfels, dem eine gerade Pyramide aufgesetzt ist.
Ein kartesisches Koordinatensystem (1 Längeneinheiten entspricht 1 Meter) ist in den Turm gelegt worden.
(siehe Abbildung).
a) Die Ebene ε1 enthalte die Punkte E, F und K.
Die Ebene ε2 die Punkte F, G und K.
Ermitteln Sie für jede Ebene eine parameterfreie Glei- chung.
b) Zur Teilung des Dachbodens soll eine Wand eingebaut werden, die durch den Mittelpunkt der Kante geht und den Schwerpunkt des Dreiecks HGK enthält.
Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Wandebene.
c) In Zuge von Sanierungsarbeiten an der Burg soll das ge- samte Turmdach neu eingedeckt werden.
Berechnen Sie die einzudeckende Dachfläche.
Der Quadratmeter Dacheindeckung mit Naturschiefer kostet 142,-€ (ohne Mehrwertsteuer).
Berechnen Sie die Kosten die Dacheindeckung, wenn die Skontobedingung von 2 % durch den Auftragnehmer ein- gehalten wird.
d) Auf der Turmspitze K befindet sich ein 3 m langer Fahnenmast, der in Richtung der z-Achse verläuft. Ein Vermesser befindet sich im Punkt T (0| yt | 1,6) und peilt mit einem Laserstrahl die Spitze des Fahnenmastes an.
Ermitteln Sie, welchen Wert yt mindestens haben muss, damit diese Peilung gelingt.
e) Aus Gründen der Stabilität wird in das Turmdach ein Balken eingezogen, von dessen Dicke abgesehen wird. Der Balken beginnt im Mittelpunkt der Kante und stützt die Dachfläche FGK senkrecht ab.
Berechnen Sie die Länge des Balkens.
f) Die Lage des Balkens kann durch den Verlauf einer Geraden g eindeutig beschrieben werden.
Geben Sie eine Gleichung von g an.
Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen g und der z–Achse.
Geben Sie an, in welchem Punkt die Gerade g die x–y–Ebene durchstößt.
2 Gegeben sind die Punkte A(1| −1|1), B(5 | 5 | 7), C(1| 5 |1) sowie die Punkte Dk(2k − 1| 2k + 1| −5), k ∈R.
a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B, C die Eckpunkte eines Dreiecks bilden.
Bestimmen Sie k so, dass das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ABCDk ergänzt wird.
b) Ermitteln Sie den Punkt Dk , der zur Geraden durch die Punkte A und C den minimalen Abstand besitzt.
3 In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, von denen eine die Zahl 1, zwei die Zahl 2, drei die Zahl 3 und die übrigen die Zahl 4 tragen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse, wenn 6 Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden:
A: Es ergibt sich die Ziffernfolge 112234.
B: Die Summe der 6 Zahlen ist 23.
C: Die Zahl 3 tritt genau dreimal auf.
D: Es wird mindestens eine gerade und eine ungerade Zahl gezogen.
Wie viele Kugeln muss man mindestens mit Zurücklegen ziehen, um mit wenigstens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens zwei ungerade Zahl zu erhalten?
EF
EH
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Übungsblatt Klausur II
Klausur 2 201 9
4 In einem Unternehmen wird auf drei laufenden Maschinen ein und dasselbe Erzeugnis her- gestellt. Die Maschinen 1 und 2 produzieren je 20 % der Gesamtproduktion, die Maschine 3 produziert 60 % der Gesamtproduktion. Es ist bekannt, dass die Maschine 1 [3 %], die Maschi- ne 2 [5 %] und die Maschine 3 [4 %] Ausschuss herstellt. Die Erzeugnisse werden in einem Lager gesammelt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein im Lager zufällig ausgewähltes Stück ein Ausschusspro- dukt?
b) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Stück auf Maschine 1, auf Maschine 2 oder auf Maschine 3 produziert wurde.
Für eine Untersuchung benötigt man ein Stück von Maschine 3.
c) Wie viele Erzeugnisse von Maschine 3 müssen der laufenden Produktion mindestens entnom- men werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ein Ausschussstück zu erhalten?
Geben Sie an, wie viele Ausstücke bei 113 entnommenen Stücken zu erwarten sind.
Der laufenden Produktion von Maschine 3 werden regelmäßig Erzeugnisse entnommen und über- prüft. Bei dieser Prüfung wird ein defektes Erzeugnis mit der Wahrscheinlichkeit von 99 % als Aus- schuss erkannt, aber auch ein einwandfreies Erzeugnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 % irr- tümlich als Ausschuss erklärt.
e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein geprüftes Erzeugnis für Ausschuss erklärt?
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von fünf Erzeugnissen, die der laufenden Produktion entnommen werden, wenigstens eines für Ausschuss erklärt wird.
5 Die Firma Obertopf produziert Gefäße aus Keramik. Dabei entstehen unabhängig voneinander Fehler in der Gestalt P(G) = 0,1 , in der Farbe P(F) = 0,05 und in der Oberfläche P(O) = 0,2.
Ein Gefäß wird zufällig der Produktion entnommen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Gestalt und Oberfläche sind defekt.
B: Das Gefäß hat schlechte Form und schlechte Farbe.
C: Genau einer der drei Fehler tritt auf.
D: Genau zwei dieser Fehler treten auf.
E: Das Gefäß ist makellos.
b) Der Engländer GALTON (1822 – 1911) untersuchte den Zusammen- hang der Augenfarbe an 1000 Vater-Sohn-Paaren.
Dabei bedeuten die Ereignisse A und B:
A: Der Vater ist helläugig B: Der Sohn ist helläugig.
Untersuchen Sie die Ereignisse A und B auf mit Hilfe der neben- stehnden Tabelle auf stochastische Unabhängigkeit.
6 In einer Lostrommel befinden sich insgesamt 6 Kugeln, 2 schwarze und 4 rote. Aus dieser Los- trommel wird zehnmal eine Kugel zunächst mit Zurücklegen gezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Die beiden zuerst und zuletzt gezogenen Kugeln sind schwarz.
B: Genau 4 der gezogenen Kugeln sind schwarz.
C: Mindestens 4 der gezogenen Kugeln haben die Farbe schwarz.
Die zwei Schüler Jonas (Spieler 1) und Jakob (Spieler 2) ziehen nun nacheinander (und das gaaaanz, gaaanz langsam!) aus der Lostrommel immer eine Kugel ohne Zurücklegen.
Jonas darf anfangen. Wer zuerst eine schwarze Kugel zieht, hat gewonnen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er das Spiel?
Wie viele Ziehungen sind im Mittel pro Spiel zu erwarten?
