Ω (x 1 , x 2 ) T oder(x, y) T Ortsvariable inR 2

Ω

^{OeneMenge in}

R ⁿ Γ = ∂Ω

^{Rand desGebiets}

Ω Ω = Ω ∪ ∂Ω

^{Abshluss von}

Ω (x 1 , x 2 ) ^T

^oder

(x, y) ^T

Ortsvariable in

R ²

t

Zeitvariable

||x|| ² ₂ =

n

X

j =1

|x _j | ²

^{Euklidishe Norm voneinem Vektor}

x ∈ R ⁿ

||x|| _∞ = max

j =1 ,...,n |x j |

Maximumsnorm von einemVektor

x ∈ R ⁿ

∂

∂x u(x, y) = u x (x, y) = ∂ x u(x, y)

^{Einepartielle Ableitungeiner Funktion}

u(x, y)

grad

u = ∇u = ( ^∂u _∂x , ^∂u _∂y )

^{Gradient von}

u : R ² −→ R

∆ = ∇ · ∇

^{Laplae Operator:}

∆u = ^∂ _∂x ^{2 u} ₂ + ^∂ _∂y ^{2 u} ₂

^für

u : R ² −→ R

div

u = ^∂u _∂x + ^∂u _∂y

^{Divergenz von}

u : R ² −→ R

rot

(F ) =

^url

(F) = ∇ × F =













∂/∂ _x

∂/∂ y

∂/∂ _z













×











 F 1

F 2

F 3













Die Rotation einesVektorfeldes

F = (F 1 , F 2 , F 3 )

Dirihlet-Bedingung

u

^{wirdamRand vorgegeben}

Neumann-Bedingung Die Normalableitung

∂u/∂n

^{wirdvorgegeben}

Robin-Bedingung

∂u/∂n + au

^{wirdvorgegeben}

C ^k (Ω)

^{Vektorraum von}

k−

^stetigdierenzierbarenFunktionen

C ₀ ^k (Ω)

^{Vektorraum von}

k−

^stetigdierenzierbarenFunktionen

mit kompaktem Träger

L ² (Ω)

^{Raum der}quadratintegrablen Funktionen

(u, v) = Z

Ω

u(x)v(x)

^d

x

Skalarproduktauf

L ² (Ω)

||u|| ² 2 = (u, u)

^{zugehörigeNorm auf}

L ² (Ω) H ^k (Ω) = {u ∈ L ² (Ω); ∂ ^α u ∈ L ² (Ω) ∀ |α| ≤ k}

Sobolevräume

(u, v) _H ^k = X

|α|≤k

(∂u ^α , ∂v ^α )

Skalarproduktauf

H ^k (Ω)

||u|| ² _H k = (u, u) _H ^k

zugehörigenNormen auf

H ^k (Ω)

•

Divergenzsatz(oderIntegralsatzvonGauss)in

R ²

^:Sei

Ω ⊂ R ²

^{kompaktmitstükweiseglattem}

(orientiertem) Rand.Sei

f = (f 1 , f 2 )

^einstetigdierenzierbares Vektorfeld auf

Ω

^.Danngilt

Z

∂ Ω

f · n

^d

s = Z

Ω

div

f

^d

x,

wobei

n = (n 1 , n 2 )

^derNormalenvektorvon

∂Ω

^{und div}

f = ^∂f _∂x ¹

1 + _∂x ^{∂f 2}

2

sind.

•

Integralformel von Green in

R ²

^{: Sei}

Ω ⊂ R ²

^{kompakt mit stükweise glattem Rand. Sei}

v, w

einfah,bzw. zweifah stetigdierenzierbare Funktionenauf

Ω

^.Danngilt

Z

Ω

∇v · ∇w

^d

x = Z

∂Ω

v ∂w

∂n

^d

s − Z

Ω

v∆w

^d

x,

wobei

∂w

∂n = _∂x ^∂w

1 n 1 + _∂x ^∂w

2 n 2

^dieNormalenableitung von

w

^ist.

•

^LemmavonLax-Milgram:Sei

V

^einHilbertraum,

a : V ×V −→ R

^{einebeshränkte}

V

-elliptishe

Bilinearformund

ℓ ∈ V ^′

^{.Das Problem}

a(u, v) = ℓ(v)

^{für alle}

v ∈ V

hateine eindeutige Lösung.

•

Cauhy-Shwarzshe Ungleihung:Für

x, y ∈ V

^{ein Vektorraum mit}Skalarprodukt, gilt:

|(x, y)| ≤ ||x|| · ||y||.