λ = − α ± x +2 α x ˙ + ω x = f ( t )(1)Anfangsbedingungen: f ( t )=0.InAbh¨angigkeitvondenNullstellen x ( t )= x , x ˙ ( t )=˙ x Differentialgleichung:¨ Eigenschwingungen: SchwingtdasbetrachteteSystemfrei,danngen¨ugtesderDGL(1)mit α Schwingungsgleichung −

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Schwingungsgleichung

Schwingungsgleichung

Differentialgleichung:

¨ x + 2α x ˙ + ω

₀²

x = f (t) (1) Anfangsbedingungen:

x(t

₀

) = x

₀

, x(t ˙

₀

) = ˙ x

₀

Beispiele: mechanischer Schwingkreis: 2α = µ

m , ω₀² = D m elektrischer Schwingkreis: 2α = R

L , ω₀² = 1 LC

Eigenschwingungen: Schwingt das betrachtete System frei, dann gen¨ ugt es der DGL (1) mit f (t) = 0.

In Abh¨ angigkeit von den Nullstellen λ

_1,2

= −α ±

^q

α

²

− ω

₀²

des cha-

rakteristischen Polynoms ergeben sich unterschiedliche L¨ osungen.

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Schwingungsgleichung

Eigenschwingungen – Aperiodischer Fall

(a) Aperiodischer Fall (starke D¨ ampfung): α

²

− ω

₀²

> 0 x

_h

(t) = c

₁

e

^(−α+β)t

+ c

₂

e

^{(−α−β)t}

, β =

q

α

²

− ω

₀²

mit c1 = ((α + β)x0 + ˙x0)/(2β)e^(α−β)t0, c2 = ((−α + β)x0 − x˙0)/(2β)e^(α+β)t0 Beispiele:

(i) α = 2.5 ω0 = 1.5 x0 = 3.0 x˙0 = 0.0 (ii) α = 1.0 ω0 = 0.75 x0 = 2.2 x˙0 = 2.0 (iii) α = 0.9 ω0 = 0.8 x0 = −0.8 x˙0 = 4.5 (iv) α = 1.5 ω0 = 1.2 x0 = −1.0 x˙0 = −4.0

-

x 6

t (i)

(ii)

(iii)

(iv)

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Schwingungsgleichung

Eigenschwingungen – Aperiodischer Grenzfall

(b) Aperiodischer Grenzfall : α = ω

₀

x

_h

(t) = (c

₁

+ c

₂

t)e

^−αt

mit c

₁

= ((1 − αt

₀

)x

₀

− x ˙

₀

t

₀

)e

^αt0

, c

₂

= (αx

₀

+ ˙ x

₀

)e

^αt0

Beispiele:

(i) α = 2.5 ω0 = 2.5 x0 = 3.0 x˙0 = 0.0 (ii) α = 0.75 ω0 = 0.75 x0 = 2.2 x˙0 = 2.0 (iii) α = 0.9 ω0 = 0.9 x0 = −0.8 x˙0 = 4.5 (iv) α = 1.5 ω0 = 1.5 x0 = −1.0 x˙0 = −4.0

- 6

x

t (i)

(ii)

(iii)

(iv)

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Schwingungsgleichung

Eigenschwingungen – Periodischer Fall

(c) Periodischer Fall (schwache D¨ ampfung): α

²

− ω

₀²

< 0

⇒ Schwingungen mit der Eigenfrequenz ω

₁

=

q

ω

₀²

− α

²

x

_h

(t) = e

^−αt

(c

₁

cos ω

₁

t + c

₂

sin ω

₁

t) = Ce

^−αt

cos(ω

₁

t − δ) mit tan δ = c

₂

/c

₁

, C = c

₁

/ cos δ

Beispiele:

α = 0.0 ω0 = 3.5 x0 = 3.0 x˙0 = 0.0

-

x 6

t

α = 0.07 ω0 = 3.5 x0 = 3.0 x˙0 = 0.0

-

x 6

t

α = 0.4 ω0 = 3.5 x0 = 3.0 x˙0 = 0.0

-

x 6

t

e^−αt

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Schwingungsgleichung

Erzwungene Schwingung – harmonische Anregung

Erzwungene Schwingungen:

Allgemeine L¨osung der Schwingungsgleichung mit f(t) 6= 0:

x(t) = x_h(t) +x_p(t) (x_p(t) – partikul¨are L¨osung) Falls α > 0, gilt x_h(t) → 0 f¨ur t → ∞. Somit ergibt sich nach einer

”Einschwingzeit“

t_e f¨ur die L¨osung x(t) ≈ x_p(t), t ≥ t_e.

Sonderfall der harmonischen Anregung: f (t) = F

₀

cos ωt

x_p(t) = F0

p(ω₀² − ω²)² + 4α²ω² cos(ωt − ϕ) mit ϕ = arctan 2αω ω₀² − ω²

Beispiele:

(i) α = 0.07 ω0 = 3.5 x0 = 3.0 x˙0 = 0.0 F0 = 3.5 ω = 7.0 (ii) α = 0.4 ω0 = 3.5 x0 = 3.0

x˙0 = 0.0 F0 = 3.5 ω = 1.0 (iii) α = 0.0 ω0 = 3.5 x0 = 3.0

x˙0 = 0.0 F0 = 3.5 ω = 3.4

- 6

x

t

(i)

(iii)

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Schwingungsgleichung

Erzwungene Schwingung – Resonanz

Verst¨ arkungsfaktor V (ω) ^:

^Verh¨altnis der Amplituden von x_p(t) und f(t)

V (ω) = 1

p(ω₀² − ω²)² + 4α²ω²

Da V (ω) → 0 f¨ur ω → ∞ sind Anregungen mit sehr hoher Frequenz ω praktisch ohne Wirkung.

Resonanz:

V (ω) hat f¨ur ω_r² = ω₀²−2α² ein Maximum. ωr wird als Resonanzfrequenz der Amplitudenverst¨arkung bezeichnet. Resonanz tritt also nur f¨ur α < ω0/√

2 auf.

F¨ur die Resonanzfrequenz gilt ωr =

q

ω₀² − 2α² = q

ω₁² − α² mit V (ωr) = max

ω V (ω) = 1 2αω1

, ω1 = q

ω₀² − α²

Beispiele:

ω0 = 1.2

(i) α = 0.5 (ii) α = 1.5 (iii) α = 0.05

(iv) α = 0.3 ^-

V(ω) 6

ω (ii)

(iii) (iv) ω₀⁻²

ω0