xu x +tu t = x t mitdemAnfangswertu(x, 1) = xfürx ∈ R,t ∈ (1, ∞).

PDDr.P.Ne

K.Stavrakidis

SS2007

19.07.2007

10. Übungsblatt zur

Vorlesung Elementare Partielle

Dierentialgleihungen

AuhwenndieseÜbungderVorbereitungaufdieKlausurdienensoll,somüssendieThemen,

diedieseÜbungbehandelt,unddie ThemenderKlausurnihtübereinstimmen.

Übung

Aufgabe1

LösenSiedieGleihung

xu x +tu t = _x ^t

^mitdemAnfangswert

u(x, 1) = x

^für

x ∈ R

^,

t ∈ (1, ∞)

^.

Lösung: vgl.Übung3,Aufgabe3.

Aufgabe2

L ösenSiedieGleihung

au ² _x + au ² _y = b

^{mitderBedingung}

u(x, x) = c

^.

Lösung: vgl.Übung4,Aufgabe3.

Aufgabe3

D ieharakteristisheFunktion

χ _A

^{aufeinerMenge}

A ⊂ R

^{istdeniertals}

χ _A (x) :=

1, falls x ∈ A 0, sonst.

(a) BerehnenSie

χ _[0,1] ∗ χ _[0,1]

^{undzeihnenSie dieFunktion.}

(b) BestimmenSie

supp (χ (0,1)∪(2,3)∪(3,4] )

^.

Lösung: (a)Esgilt:

χ [0,1] ∗ χ [0,1] =







0, falls x < 0 oder x > 2 x, falls 0 ≤ x ≤ 1 2 − x, falls 1 ≤ x ≤ 2.

(b)

supp (χ (0,1)∪(2,3)∪(3,4] ) = [0, 1] ∪ [2, 4]

Aufgabe4

(a) SinddieFunktionen

f 1 , f 2 , f 3 : [0, 1] ³ → R

^mit

f 1 (x, y, z) := x− y

^,

f 2 (x, y, z) := x+ y +z

und

f 3 (x, y, z) := x ² − y ² + z(x − y)

^{abhängig? Fallsja,geben SieeineFunktion}

F

^an,

diedieAbhängigkeitdarstellt.

(b) Die Funktionen

f 1 , f 2 , f 3 : [−1, 0] ³ → R

^{seiengegeben. UntersuhenSie dieFunktionen}

aufAbhängigkeit.

Lösung: (a)Abhängig.

F (x, y, z) = xy − z

^.

(b)Abhängig,vgl.SkriptSeite13,Thm.6.6.

Aufgabe5

(a) BerehnenSiedieAbleitungvon

f : R → R

^,

f (x) = e ^{xg(x 2 )}

^,wobei

g ∈ C ¹ (R)

^.

(b) Sei

u : R × (0, ∞) → R ²

^{gegeben.BerehnenSie}

_∂t ^∂ u(x + t, t ² )

^.

Lösung: (a)MitKetten-undProduktregelerhältman:

f ^′ (x) = e ^{xg(x 2 )} (g(x ² ) + 2x ² g ^′ (x ² )).

(b)Kettenregelliefert:

∂

∂t u(x + t, t ² ) = u ^′ (x + t, t ² ) · (1, 2t) ^T =

∂ 1 u 1 ∂ 2 u 1

∂ 1 u 2 ∂ 2 u 2

1 2t

= ∂ 1 u + 2t∂ 2 u.

Aufgabe6

BetrahtenSiediePoisson-Gleihung

∆u = f

^{aufdemGanzraum,wobei}

f

betragsintegrier- bar ist. Hängt die Lösung

u

^{stetig von}

f

^{ab? Ist die Gleihung} wohlgestellt im Sinne von Hadamard?Fallsniht,beweisenSieIhreVermutung.

Lösung: Für jedes

f

^ist

Φ ∗ f

^{eine Lösung der} Poisson-Gleihung. Eine weiter Lösung ist

Φ ∗ f + c 1 x + c 2

^,

c 1 , c 2 ∈ R

^{.DamitistdiePDEniht}wohlgestellt.

DadieLösungnihteindeutigist,hängendieLösungeni.A.nihtstetigvondenAnfangsdaten

ab:

Betrahtenwir

T f := Φ ∗ f

^.Dannist

T

^{linearundfüreineNullfolge}

(f n ) n ∈N

^gilt

n→∞ lim T f _n = T ( lim

n→∞ f _n ) = 0.

Limes und

T

kommutieren auf Grund des Majorantenkriteriums.Diese Abbildung ist zwar stetig,aberwirkönnenauhdamit eineunstetigedenieren:

Für

f 6= 0

^{denieren wir}

T 2 f := T f = Φ ∗ f

^.Für

f = 0

^{setzenwiraber}

T 2 0 := 1

^{.Damit ist}

T 2

ⁱⁿ

0

^{nihtstetig,dennsei}

(f n ) n ∈N

^{wiedereineNullfolge:}

n lim →∞ T 2 f n = lim

n →∞ T f n = 0 6= 1.

Viel Erfolg bei der Klausur!