xu x +tu t = x t mitdemAnfangswertu(x, 1) = xfürx ∈ R,t ∈ (1, ∞ ).

(1)

PDDr.P.Ne

K.Stavrakidis

SS2007

19.07.2007

10. Übungsblatt zur

Vorlesung Elementare Partielle

Dierentialgleihungen

AuhwenndieseÜbungderVorbereitung aufdie Klausurdienen soll,somüssen dieThemen,

diedieseÜbungbehandelt,unddieThemenderKlausurnihtübereinstimmen.

Übung

Aufgabe1

LösenSiedieGleihung

xu _x +tu t = _x ^t

^mit^demAnfangswert

u(x, 1) = x

^für

x ∈ R

^,

t ∈ (1, ∞ )

^.

Aufgabe2

L ösenSiedieGleihung

au ² _x + au ² _y = b

^mit^der^Bedingung

u(x, x) = c

^.

Aufgabe3

D ieharakteristisheFunktion

χ A

^auf^einer^Menge

A ⊂ R

^ist^deniert^als

χ A (x) :=

1, falls x ∈ A 0, sonst.

(a) BerehnenSie

χ _[0,1] ∗ χ _[0,1]

^und^zeihnen ^Sie^die ^F^unktion.

(b) BestimmenSie

supp (χ (0,1) ∪ (2,3) ∪ (3,4] )

^.

Aufgabe4

(a) SinddieFunktionen

f 1 , f 2 , f 3 : [0, 1] ³ → R

^mit

f 1 (x, y, z) := x − y

^,

f 2 (x, y, z) := x + y + z

und

f 3 (x, y, z) := x ² − y ² + z(x − y)

^abhängig?^Falls^ja,^geben^Sie^eine^Funktion

F

^an,^die

dieAbhängigkeitdarstellt.

(b) Die Funktionen

f 1 , f 2 , f 3 : [ − 1, 0] ³ → R

^seien^gegeben. ^Untersuhen ^Sie ^die ^F^unktionen

auf Abhängigkeit.

Aufgabe5

(a) BerehnenSiedieAbleitungvon

f : R → R

^,

f (x) = e ^xg(x ² ⁾

^,^wobei

g ∈ C ¹ (R)

^.

(b) Sei

u : R × (0, ∞ ) → R ²

^gegeben.^Berehnen^Sie

_∂t ^∂ u(x + t, t ² )

^.

Aufgabe6

BetrahtenSiediePoisson-Gleihung

∆u = f

^auf^dem^Ganzraum,^wobei

f

betragsintegrierbar ist.HängtdieLösung

u

^stetig^von

f

^ab?^Ist^die^GleihungwohlgestelltimSinnevonHadamard?

Fallsniht,beweisenSieIhreVermutung.

xu x +tu t = x t mitdemAnfangswertu(x, 1) = xfürx ∈ R,t ∈ (1, ∞ ).

xu x +tu t = x t